Ensembles quotients et partitions

L’ensemble quotient $ A/\rho $ est l’ensemble formé par toutes les classes d’équivalence de $ A $ définies par la relation $ \rho $.

Autrement dit, tous les éléments de $ A $ qui appartiennent à une même classe d’équivalence $ [a] $ sont représentés collectivement par l’élément unique $ [a] $ dans $ A/\rho $.

Ces classes constituent ce qu’on appelle une partition de l’ensemble $ A $.

Qu’est-ce qu’une partition ? Une partition est une collection de sous-ensembles non vides (appelés « parties ») satisfaisant les deux conditions suivantes :

[1] Leur union est égale à l’ensemble de départ : $$ \bigcup A_n = A $$
[2] Elles sont deux à deux disjointes : $$ A_a \cap A_b = \emptyset \quad \text{si } a \ne b $$

Exemples

Exemple 1

Soit $ A = \{1, 2, 3, 4\} $,

et considérons l’ensemble suivant :

$$ F = \{ \{1\}, \{3,4\} \} $$

F n’est pas une partition, car bien qu’elle soit non vide et que ses sous-ensembles soient disjoints, leur union ne couvre pas tout $ A $ : l’élément 2 n’y figure pas.

Exemple 2

Soit à nouveau $ A = \{1, 2, 3, 4\} $,

et posons :

$$ F = \{ \{1\}, \{2\}, \{3,4\} \} $$

Cette fois, F est une partition valide, car elle satisfait toutes les conditions requises.

Cela permet d’énoncer le théorème fondamental des relations d’équivalence :

Une relation d’équivalence $ \rho $ sur un ensemble $ A $ induit une partition de $ A $, formée par ses classes d’équivalence (l’ensemble quotient $ A/\rho $).
Réciproquement, toute partition de $ A $ définit une relation d’équivalence $ \rho $ telle que chaque partie de la partition correspond à une classe d’équivalence.

Démonstration

Comme $ \rho $ est réflexive, chaque élément $ a \in A $ vérifie $ a \rho a $, donc $ a \in [a] $.

Il s’ensuit que toute classe $ [a] $ est non vide.

Cette propriété vaut pour tout élément de $ A $.

De plus, deux classes sont soit disjointes, soit égales. En effet, si un élément $ x $ appartient à la fois à $ [a] $ et à $ [b] $, alors :

$$ x \rho a \quad \text{et} \quad x \rho b $$

Par symétrie et transitivité, on déduit que $ a \rho b $, donc $ [a] = [b] $.

En résumé :

Si $ [a] \cap [b] = \emptyset $, alors $ [a] \ne [b] $
Si $ [a] \cap [b] \ne \emptyset $, alors $ [a] = [b] $

On a donc montré que les classes d’équivalence définies par $ \rho $ sur $ A $ forment une partition de $ A $ :

Chaque classe est non vide : elle contient au moins son représentant.
L’union de toutes les classes donne $ A $ : en les réunissant, on retrouve l’ensemble initial.
Deux classes distinctes sont disjointes : elles ne partagent aucun élément commun.

Exemple

Soit $ A = \{1, 2, 3, 4\} $

et $ F = \{ \{1\}, \{2\}, \{3,4\} \} $.

On définit une relation d’équivalence $ \rho $ sur $ A $ de la manière suivante :

$$ a \rho b $$

si et seulement si $ a $ et $ b $ appartiennent à un même sous-ensemble de $ F $ :

$$ \forall a, b \in A,\quad a \rho b \Leftrightarrow \exists X \in F \text{ tel que } \{a,b\} \subseteq X $$

Les couples appartenant à cette relation sont :

$$ \rho_F = \{ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (3,4), (4,3) \} $$

L’ensemble quotient $ A/\rho $ comprend les classes suivantes :

$$ A/\rho = \{ [1], [2], [3], [4] \} $$

avec :

$$ [1] = \{1\} \quad [2] = \{2\} \quad [3] = \{3, 4\} \quad [4] = \{3, 4\} $$

Remarque : L’élément 1 est uniquement lié à lui-même, tout comme 2. En revanche, 3 et 4 sont équivalents entre eux.

Si l’on exprime $ A/\rho $ comme un ensemble de sous-ensembles :

$$ A/\rho = \{ \{1\}, \{2\}, \{3,4\} \} $$

on retrouve exactement la partition $ F $.

Et ainsi de suite.