Relations d’équivalence

Qu’est-ce qu’une relation d’équivalence ?

Réflexivité : $$ \forall \ a \ \in A \:\: a\rho a $$
Symétrie : $$ \forall \ a,b \ \in A \:\: a\rho b \Rightarrow b\rho a $$
Transitivité : $$ \forall \ a,b,c \ \in A \ | \ a\rho b \land b\rho c \Rightarrow a\rho c $$

Lorsque la relation $ a\rho b $ est satisfaite, on dit que les éléments $ a $ et $ b $ de l’ensemble sont équivalents.

$$ a\rho b $$

L’exemple le plus classique est la relation d’égalité (=), qui constitue une relation d’équivalence en vertu des trois propriétés suivantes :

Réflexivité : $$ \forall \ a \ \in A \ \Rightarrow \: a = a $$
Symétrie : $$ \forall \ a,b \ \in A \ | \: a = b \Rightarrow b = a $$
Transitivité : $$ \forall \ a,b,c \ \in A \ | \ a = b \land b = c \Rightarrow a = c $$

Relations d’équivalence vs. relations d’ordre : Les relations d’équivalence et les relations d’ordre partagent les propriétés de réflexivité et de transitivité. La distinction réside dans la troisième propriété : les relations d’équivalence sont symétriques, tandis que les relations d’ordre sont antisymétriques.

Exemple concret
Classes d’équivalence

Exemple concret

Considérons l’ensemble des droites du plan cartésien, et la relation R définie par :

$$ R: \ \text{x est parallèle à y} $$

Pour déterminer si R est une relation d’équivalence, examinons les trois propriétés :

Réflexivité : Toute droite est parallèle à elle-même, puisqu’elle conserve la même direction.
Symétrie : Si la droite x est parallèle à la droite y, alors y est également parallèle à x.
Transitivité : Si x est parallèle à y et y à z, alors x est parallèle à z.

Comme les trois propriétés sont vérifiées, R est bien une relation d’équivalence.

Exemple 2

Examinons à présent le même ensemble de droites, avec une autre relation :

$$ R: \ \text{x est perpendiculaire à y} $$

Analysons si cette relation répond aux critères d’une relation d’équivalence :

Non réflexive : Aucune droite n’est perpendiculaire à elle-même.

On conclut donc que cette relation n’est pas une relation d’équivalence.

Remarque : Il suffit qu’une seule des trois propriétés fasse défaut pour qu’une relation ne puisse être qualifiée d’équivalence. En l’occurrence, l’absence de réflexivité suffit à rejeter cette possibilité, sans qu’il soit nécessaire de vérifier les deux autres.

Quelques exemples simples

La relation « x a le même âge que y » est une relation d’équivalence.
La relation « x habite dans la même maison que y » est une relation d’équivalence.
La relation « x a le même poids que y » est une relation d’équivalence.
La relation « x a la même couleur que y » est une relation d’équivalence.

Classes d’équivalence

Toute relation d’équivalence induit naturellement une partition de l’ensemble en classes d’équivalence : des sous-ensembles non vides, disjoints deux à deux, dont la réunion reconstitue l’ensemble initial.

Une partition divise un ensemble en parties distinctes et sans chevauchement, chaque élément appartenant à une et une seule classe.

Ces sous-ensembles sont appelés classes d’équivalence.

L’ensemble de toutes les classes forme ce que l’on appelle le quotient de l’ensemble.

Exemple : Soit l’ensemble fini $$ X = \{ -5, -2, -1, 3, 4 \} $$ et la relation « x a le même signe que y ». Il s’agit d’une relation d’équivalence, car elle satisfait la réflexivité, la symétrie et la transitivité. L’ensemble X se partitionne alors naturellement en deux classes d’équivalence : $$ C_1 = \{ 3, 4 \} $$ $$ C_2 = \{ -5, -2, -1 \} $$ Ces classes sont disjointes et non vides. Leur union donne l’ensemble initial : $$ C_1 \cup C_2 = X $$ Le quotient de X est donc constitué de ces deux classes : $$ Q = \{ C_1, C_2 \} = \{ \{3, 4\}, \{-5, -2, -1\} \} $$ On notera que chaque élément de Q est lui-même un ensemble.

Un même ensemble peut admettre plusieurs partitions différentes.

Et chacune correspond à une relation d’équivalence particulière.

Par exemple, un ensemble d’objets peut être classé selon leur couleur, leur poids, leur prix, ou d’autres critères pertinents.

Et ainsi de suite.