Identification de l’antitriplet par le tenseur de Levi-Civita
Une paire antisymétrique de deux quarks se comporte comme l'antiquark associé à la saveur absente. \[ ud - du \longleftrightarrow \bar s \] \[ us - su \longleftrightarrow \bar d \] \[ ds - sd \longleftrightarrow \bar u \] Dans ces expressions, $ u $, $ d $ et $ s $ désignent les quarks up, down et strange, tandis que $ \bar{u} $, $ \bar{d} $ et $ \bar{s} $ désignent les antiquarks correspondants.
Cette correspondance n'est pas une simple image intuitive. Elle est une conséquence directe et rigoureuse de la structure mathématique de la symétrie de saveur SU(3).
Le point clé est le rôle joué par le tenseur de Levi-Civita totalement antisymétrique \( \varepsilon_{ijk} \). Lorsque l'on contracte deux champs de quarks avec ce tenseur, on obtient un objet qui se transforme exactement comme un antiquark :
\[ \boxed{ \varepsilon_{ijk}\, q^j q^k = \bar q_i } \]
Les champs \( q^j \) et \( q^k \) appartiennent à la représentation fondamentale de SU(3). L'indice libre \( i \) identifie la composante de saveur de l'antiquark obtenu.
Les indices \( i,j,k \) prennent les valeurs \( 1,2,3 \), ou, de manière équivalente, correspondent aux saveurs \( u,d,s \) (up, down, strange).
Le tenseur \( \varepsilon_{ijk} \), entièrement antisymétrique, possède trois propriétés essentielles :
- \( \varepsilon_{ijk} = 0 \) dès que deux indices sont identiques
- \( \varepsilon_{ijk} = +1 \) pour les permutations paires de \( (u,d,s) \)
- \( \varepsilon_{ijk} = -1 \) pour les permutations impaires de \( (u,d,s) \)
Par convention standard, on fixe :
\[ \varepsilon_{uds} = +1 \]
Ainsi, en échangeant \( u \) et \( d \), on passe de \( \varepsilon_{uds} \) à \( \varepsilon_{dus} = -1 \), car la permutation $ (uds) \to (dus) $ est une transposition unique, donc une permutation impaire. En revanche, si deux indices coïncident, comme dans \( \varepsilon_{uus} \), le tenseur s'annule automatiquement : \[ \varepsilon_{uus} = 0 \]
Un exemple concret
Dans la symétrie de saveur SU(3), les quarks forment la représentation fondamentale :
\[ 3 = \{ u, d, s \} \]
Lorsque l'on combine deux quarks, l'espace des états est décrit par le produit tensoriel :
\[ 3 \otimes 3 \]
Ce produit engendre $ 3 \times 3 = 9 $ états de base :
$$ uu, ud, us, du, dd, ds, su, sd, ss $$
Ces états ne possèdent pas tous les mêmes propriétés de symétrie. Certains restent inchangés lorsque l'on échange les deux quarks, tandis que d'autres se transforment en un état différent.
- Les états $ uu, dd, ss $ contiennent deux quarks identiques. L'échange ne modifie rien, ces états sont donc symétriques.
- Les états $ ud, us, du, ds, su, sd $ contiennent deux quarks distincts. L'échange transforme l'état, par exemple $ ud \to du $. Pris séparément, ils ne sont ni symétriques ni antisymétriques.
Remarque. Dans l'état $ uu $, l'échange redonne toujours $ uu $, ce qui définit un état symétrique : $$ uu \xrightarrow{\text{exchange}} uu \quad \text{(symétrique)} $$ Dans l'état $ ud $, l'échange produit $ du $, un état de base différent. L'état $ ud $ ne possède donc pas de symétrie propre : $$ ud \xrightarrow{\text{exchange}} du $$
On a ainsi identifié trois états manifestement symétriques. Les six autres doivent être organisés en combinaisons linéaires adaptées.
Il est important de souligner que la symétrie n'est pas une propriété des états de base pris isolément, mais du sous-espace qu'engendrent certaines combinaisons de ces états.
Toutes les combinaisons linéaires ne conviennent cependant pas.
Par exemple, des expressions comme $ ud + us $, $ ud - us $ ou $ du + su $ ne sont pas invariantes sous l'échange des quarks. En effet : $$ ud + us \xrightarrow{\text{exchange}} du + su $$ La combinaison obtenue est différente de la combinaison initiale. Ces états ne sont donc ni symétriques ni antisymétriques.
Il existe en revanche exactement trois combinaisons symétriques :
\[ ud+du \xrightarrow{\text{exchange}} du+ud = ud+du \]
\[ us+su \xrightarrow{\text{exchange}} su+us = us+su \]
\[ ds+sd \xrightarrow{\text{exchange}} sd+ds = ds+sd \]
et trois combinaisons antisymétriques, qui changent seulement de signe lors de l'échange :
\[ ud-du \xrightarrow{\text{exchange}} du-ud = - (ud - du) \]
\[ us-su \xrightarrow{\text{exchange}} su-us = - (us - su) \]
\[ ds-sd \xrightarrow{\text{exchange}} sd-ds = - (ds - sd) \]
Le produit tensoriel se décompose donc naturellement en :
\[ 3 \otimes 3 = 6 \oplus \bar{3} \]
La représentation \( 6 \) correspond aux états symétriques. La représentation \( \bar{3} \) regroupe les états antisymétriques.
Concentrons-nous maintenant sur ces derniers.
La règle structurelle annoncée au départ affirme que chaque paire antisymétrique de quarks se transforme comme l'antiquark associé à la saveur absente :
\[ ud - du \longleftrightarrow \bar s \]
\[ us - su \longleftrightarrow \bar d \]
\[ ds - sd \longleftrightarrow \bar u \]
Remarque. Dans la combinaison \( ud - du \), les saveurs \( u \) et \( d \) sont présentes, tandis que la saveur \( s \) est absente. La paire se transforme donc comme l'antiquark strange \( \bar s \). Le même raisonnement s'applique aux autres combinaisons.
Cette identification peut être démontrée explicitement. Reprenons la combinaison :
\[ ud - du \]
La relation fondamentale s'écrit sous la forme de la contraction :
\[ \bar q_i = \varepsilon_{ijk} q^j q^k \]
Les saveurs impliquées étant $ u $ et $ d $, on choisit \( j = u \) et \( k = d \) :
\[ \bar q_i = \varepsilon_{iud}\, q^u q^d + \varepsilon_{idu}\, q^d q^u \]
Les deux termes apparaissent car la contraction tient compte simultanément des contributions $ ud $ et $ du $.
En raison de l'antisymétrie du tenseur de Levi-Civita, on a :
\[ \varepsilon_{idu} = - \varepsilon_{iud} \]
On obtient alors :
\[ \bar q_i = \varepsilon_{iud}\, (q^u q^d - q^d q^u) \]
ou, plus simplement :
\[ \bar q_i = \varepsilon_{iud}\, (ud - du) \]
La contraction avec \( \varepsilon_{ijk} \) sélectionne donc automatiquement la combinaison antisymétrique.
Il reste à déterminer la valeur de l'indice $ i $. Dans SU(3), on trouve :
- \( i = u \Rightarrow \varepsilon_{uud} = 0 \)
- \( i = d \Rightarrow \varepsilon_{dud} = 0 \)
- \( i = s \Rightarrow \varepsilon_{sud} \neq 0 \)
Il en résulte nécessairement :
\[ i = s \]
et donc :
\[ \bar q_s = \varepsilon_{sud}\, (ud - du) \]
Comme $ \varepsilon_{uds} = +1 $ et que la permutation $ (uds) \to (sud) $ est un 3-cycle, donc une permutation paire, on obtient :
\[ \varepsilon_{sud} = +1 \]
Finalement :
\[ \bar q_s = (ud - du) \]
Puisque $ \bar q_s $ correspond à la composante de saveur $ s $ de l'antitriplet, on l'identifie à l'antiquark strange :
\[ \bar s \longleftrightarrow (ud - du) \]
Cela montre de façon explicite que la combinaison antisymétrique $ ud - du $ se transforme comme un antiquark $ \bar s $.
Remarque. Le signe global dépend de la convention adoptée pour \( \varepsilon_{uds} \) et n'a aucune conséquence physique. Deux états qui ne diffèrent que par un facteur global non nul, en particulier \( \pm 1 \), décrivent le même état physique.
Le même raisonnement s'applique aux combinaisons $ us - su $ et $ ds - sd $.
\[ ud - du \longleftrightarrow \bar s \] \[ us - su \longleftrightarrow \bar d \] \[ ds - sd \longleftrightarrow \bar u \]
En conclusion, la partie antisymétrique du produit tensoriel de deux quarks réalise la représentation \( \bar 3 = \{ \bar u, \bar d, \bar s \} \) de SU(3).
Chaque paire antisymétrique de quarks se transforme ainsi comme l'antiquark associé à la saveur absente.
