Isospin et diffusion pion-nucléon

La diffusion pion-nucléon dépend de l'isospin, car l'interaction forte est totalement insensible à la charge électrique des particules. Elle ne dépend que de leurs nombres quantiques d'isospin.

Le pion et le nucléon possèdent respectivement un isospin $ I = 1 $ et $ I = \tfrac{1}{2} $. Il en découle que l'interaction ne peut se produire que dans des états d'isospin total $ \tfrac{3}{2} $ ou $ \tfrac{1}{2} $.

Tous les processus observés expérimentalement peuvent ainsi être interprétés comme des combinaisons de ces deux, et seulement de ces deux, canaux d'isospin.

Explication

Considérons un processus générique de diffusion entre un pion $ \pi $ et un nucléon $ N $ :

\[ \pi + N \to \pi + N \]

Le pion peut être $ \pi^+ , \pi^0 $ ou $ \pi^- $.

Le nucléon peut, de son côté, être un proton (p) ou un neutron (n).

À première vue, on pourrait penser que la diffusion dépend des charges électriques des particules impliquées. En réalité, l'interaction forte ne « voit » pas la charge. Elle est entièrement gouvernée par l'isospin.

le pion $ \pi $ possède un isospin $ I = 1 $
le nucléon $ N $ possède un isospin $ I = \tfrac{1}{2} $

Lorsque ces deux particules interagissent, l'isospin total du système ne peut prendre que deux valeurs :

\[ 1 \otimes \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} \oplus \tfrac{1}{2} \]

Autrement dit, toute diffusion pion-nucléon correspond nécessairement à l'un des deux cas suivants :

une diffusion avec un isospin total $ I = \tfrac{3}{2} $
une diffusion avec un isospin total $ I = \tfrac{1}{2} $

Aucune autre valeur de l'isospin total n'est physiquement possible.

Note. Le pion a un isospin $ I_1 = 1 $, tandis que le nucléon a un isospin $ I_2 = \tfrac{1}{2} $. Selon les règles d'addition de l'isospin, l'isospin total $ I $ peut prendre toutes les valeurs comprises entre $ |I_1 - I_2| $ et $ I_1 + I_2 $, par pas entiers ou demi-entiers. Dans ce cas : \[
|1 - \tfrac{1}{2}| = \tfrac{1}{2} \] \[ 1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} \] Les seules valeurs possibles sont donc : \[
I = \tfrac{1}{2}, \ \tfrac{3}{2} \] D'où la décomposition : \[ 1 \otimes \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} \oplus \tfrac{1}{2} \] Le système pion-nucléon ne peut exister que dans l'un de ces deux états d'isospin total.

Puisque seuls deux états d'isospin total sont autorisés, le processus de diffusion est entièrement décrit par deux amplitudes de diffusion indépendantes :

$ \mathcal M_{3/2} $, correspondant au canal $ I = \tfrac{3}{2} $
$ \mathcal M_{1/2} $, correspondant au canal $ I = \tfrac{1}{2} $

L'amplitude de diffusion est une grandeur complexe qui mesure l'amplitude de probabilité qu'une réaction se produise par un canal donné.

Note. En théorie quantique des collisions, l'amplitude de diffusion est l'objet fondamental qui caractérise l'intensité d'un processus de diffusion. Les probabilités observables sont obtenues en prenant le module au carré de cette amplitude.

À partir de l'amplitude de diffusion, on définit la section efficace.

La section efficace est une grandeur physique qui quantifie la probabilité qu'une réaction ait lieu lors de la collision de deux particules.

En mécanique quantique, elle est proportionnelle au module au carré de l'amplitude de diffusion :

\[ \sigma \propto |\mathcal M|^2 \]

Bien qu'elle ait la dimension d'une aire, la section efficace ne correspond pas à une surface géométrique réelle. Il s'agit d'une aire effective qui traduit la probabilité du processus de diffusion.

D'un point de vue opérationnel, la section efficace ( \sigma ) est définie par

\[ \sigma = \frac{\text{nombre de réactions par seconde}}{\text{flux de particules incidentes}} \]

Concrètement, c'est le rapport entre le nombre de réactions observées et le nombre de particules incidentes traversant une surface donnée par unité de temps.

si $ \sigma $ est grande, la réaction est probable
si $ \sigma $ est petite, la réaction est rare

La section efficace est donc une grandeur centrale en physique expérimentale, car elle peut être mesurée directement et fournit une information quantitative sur la probabilité d'une réaction de diffusion.

Toute réaction physique peut être pure ou mixte

Selon l'état initial du processus de diffusion, la réaction peut être :

pure, lorsque l'isospin total est fixé de manière univoque
mixte, lorsque l'état initial est une superposition de plusieurs valeurs de l'isospin total

L'état initial de la diffusion correspond à la configuration quantique du système avant la collision, c'est-à-dire l'ensemble des particules incidentes et de leurs propriétés physiques.

Note. Dans la diffusion pion-nucléon, l'état initial est simplement formé par la paire de particules entrant en collision, par exemple $ \pi^+ + p $ ou $ \pi^- + p $, accompagnée de leurs nombres quantiques associés, comme la charge électrique et l'isospin. Cet état initial détermine la décomposition en canaux d'isospin et, par conséquent, le caractère pur ou mixte de la réaction.

Exemple

Considérons le processus de diffusion suivant :

\[ \pi^+ + p \to \pi^+ + p \]

L'état initial est ici le système $ \pi^+ + p $.

On commence par identifier les projections de l'isospin des particules sur l'axe z.

$ \pi^+ $ a une projection $ I_3 = +1 $
$ p $ a une projection $ I_3 = \tfrac{1}{2} $

La projection totale de l'isospin de l'état initial est donc

\[ I_3^{\text{tot}} = +1 + \tfrac{1}{2} = +\tfrac{3}{2} \]

Quels sont les isospins totaux $ I $ compatibles avec cette valeur de $ I_3 $ ?

Dans un système pion-nucléon, les valeurs possibles de l'isospin total sont

\[ I \in \left\{ \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{2} \right\} \]

Ce résultat provient directement des règles d'addition de l'isospin. La combinaison d'un isospin $ I = 1 $ avec un isospin $ I = \tfrac{1}{2} $ conduit aux deux valeurs

\[ I = \tfrac{3}{2}, \qquad I = \tfrac{1}{2} \]

Cependant, le multiplet d'isospin $ I = \tfrac{1}{2} $ ne contient aucun état avec $ I_3 = +\tfrac{3}{2} $. Il ne reste donc qu'une possibilité : l'isospin total est nécessairement $ I = \tfrac{3}{2} $.

Le processus de diffusion $ \pi^+ + p $ correspond ainsi à une réaction d'isospin pur.

Dans ce cas, une seule amplitude de diffusion intervient, notée $ \mathcal M_{3/2} $, et la section efficace est proportionnelle au module au carré de cette amplitude :

\[ \sigma \propto |\mathcal M_{3/2}|^2 \]

Aucun autre canal d'isospin ne contribue, et aucun terme d'interférence n'apparaît, puisque l'état initial possède un isospin total parfaitement défini.

La probabilité de la réaction est donc entièrement gouvernée par la dynamique du canal $ I = \tfrac{3}{2} $.

Exemple 2

Examinons maintenant le processus

\[ \pi^- + p \to \pi^- + p \]

L'état initial est cette fois $ \pi^- + p $.

On détermine à nouveau les projections de l'isospin sur l'axe z.

$ \pi^- $ a $ I_3 = -1 $
$ p $ a $ I_3 = +\tfrac{1}{2} $

La projection totale de l'isospin vaut alors

\[ I_3^{\text{tot}} = -1 + \tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{2} \]

Quelles valeurs de l'isospin total sont compatibles avec cette projection ?

Les valeurs autorisées de l'isospin total pour un système pion-nucléon restent

\[ I \in \left\{ \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{2} \right\} \]

Selon les règles d'addition de l'isospin, les deux valeurs sont donc possibles :

\[ I = \tfrac{3}{2}, \qquad I = \tfrac{1}{2} \]

Dans ce cas, chacun des deux multiplets contient un état ayant la projection $ I_3 = -\tfrac{1}{2} $.

Note. Un multiplet d'isospin total $ I $ regroupe tous les états dont la troisième composante de l'isospin prend les valeurs comprises entre $ -I $ et $ +I $, par pas entiers : \[ I_3 = -I, -I+1, \dots , I-1, I \]. Pour $ I = \tfrac{1}{2} $, on a \[ I_3 = -\tfrac{1}{2}, +\tfrac{1}{2} \], tandis que pour $ I = \tfrac{3}{2} $, on a \[ I_3 = -\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}, +\tfrac{1}{2}, +\tfrac{3}{2} \].

Il en résulte que l'état initial $ \pi^- + p $ n'est pas un état d'isospin pur, mais une superposition linéaire de deux états d'isospin total différent.

\[ \pi^- p = a\,(I=\tfrac{3}{2}, I_3=-\tfrac{1}{2}) + b\,(I=\tfrac{1}{2}, I_3=-\tfrac{1}{2}) \]

Les coefficients $ a $ et $ b $ sont complexes et vérifient la condition de normalisation $ |a|^2 + |b|^2 = 1 $.

L'état initial ne possède donc pas d'isospin total bien défini, mais correspond à une superposition cohérente de deux composantes partageant la même projection $ I_3 $.

Réaction pure et réaction mixte

Dans une réaction mixte, comme $ \pi^- + p $, l'état initial n'a pas d'isospin total unique. Physiquement, cela signifie que la diffusion ne s'effectue pas par un seul canal d'isospin, mais par une combinaison cohérente de plusieurs canaux.

L'état initial se décompose alors en une superposition d'un état avec $ I = \tfrac{3}{2} $ et d'un état avec $ I = \tfrac{1}{2} $.

La diffusion peut donc emprunter simultanément les deux canaux, chacun étant associé à une amplitude de diffusion distincte :

\[ \mathcal M_{3/2} \qquad \text{et} \qquad \mathcal M_{1/2} \]

L'amplitude totale de diffusion s'écrit comme une combinaison linéaire pondérée de ces amplitudes :

\[ \mathcal M = c_{3/2} \mathcal M_{3/2} + c_{1/2} \mathcal M_{1/2} \]

Les coefficients $ c_{3/2} $ et $ c_{1/2} $ sont fixés par les coefficients de Clebsch-Gordan issus de la décomposition de l'état initial.

Note. Dans une réaction pure, comme $ \pi^+ + p $, l'état initial a un isospin total bien défini $ I = \tfrac{3}{2} $. Un seul canal contribue alors, et l'amplitude de diffusion se réduit à $ \mathcal M_{3/2} $, sans interférence.

Quand la dynamique sélectionne un canal dominant

Dans une réaction mixte, les différents canaux d'isospin ne contribuent pas nécessairement avec la même intensité. La dynamique de l'interaction peut favoriser très fortement l'un d'entre eux.

Par exemple, bien que l'état initial $ \pi^- + p $ contienne des composantes avec $ I = \tfrac{1}{2} $ et $ I = \tfrac{3}{2} $, il arrive que seule la composante $ I = \tfrac{3}{2} $ joue un rôle significatif.

Cette situation est liée à la présence de la résonance $ \Delta $, qui possède un isospin $ I = \tfrac{3}{2} $. Cette résonance ne peut être formée que dans ce canal et renforce fortement l'amplitude correspondante.

D'un point de vue pratique, le système se comporte alors comme si deux canaux étaient possibles en principe, mais qu'un seul était effectivement dominant.

Dans la diffusion $ \pi^- + p $, l'interaction se produit donc presque exclusivement par le canal $ I = \tfrac{3}{2} $, la contribution du canal $ I = \tfrac{1}{2} $ étant négligeable :

\[ \mathcal M_{3/2} \gg \mathcal M_{1/2} \]

L'amplitude totale se simplifie alors en

\[ \mathcal M \approx c_{3/2} \mathcal M_{3/2} \]

et la section efficace correspondante devient

\[ |\mathcal M|^2 \approx |c_{3/2}|^2 |\mathcal M_{3/2}|^2 \]

Note. Même dans une réaction mixte, l'amplitude totale s'écrit formellement comme une somme de contributions. Lorsqu'un seul canal domine pour des raisons dynamiques, comme la présence de la résonance $ \Delta $, l'expression se simplifie de manière effective.

Comme $ c_{3/2} $ est un coefficient de Clebsch-Gordan, entièrement déterminé par l'algèbre de l'isospin, les rapports de sections efficaces dans ce régime ne dépendent pas des détails microscopiques de l'interaction.

Ils sont fixés uniquement par la structure d'isospin des états en jeu.

En pratique, lorsqu'un canal d'isospin domine, les différences entre réactions sont gouvernées par de simples facteurs algébriques.

Par exemple, en comparant les sections efficaces des réactions $ \pi^+ + p $ et $ \pi^- + p $, on obtient \[ \frac{\sigma(\pi^+ p)}{\sigma(\pi^- p)} = 3 \], en excellent accord avec les résultats expérimentaux.

Et ainsi de suite.