Relații de echivalență

Ce reprezintă relațiile de echivalență?

Când avem aρb, spunem că elementele a și b din mulțime sunt echivalente.

$$ a\rho b $$

Un exemplu clasic este egalitatea (=), care constituie o relație de echivalență, întrucât îndeplinește cele trei proprietăți de mai sus:

• Reflexivitate: $$ \forall \ a \ \in A \ \Rightarrow \: a = a $$
• Simetrie: $$ \forall \ a,b \ \in A \ | \: a = b \Rightarrow b = a $$
• Tranzitivitate: $$ \forall \ a,b,c \ \in A \ | \ a = b \land b = c \Rightarrow a = c $$

Relații de echivalență vs. relații de ordine: Atât relațiile de echivalență, cât și relațiile de ordine sunt reflexive și tranzitive. Diferența esențială apare însă la a treia proprietate: relațiile de echivalență sunt simetrice, pe când relațiile de ordine sunt antisimetrice.

Exemplu practic

Considerăm mulțimea dreptelor din planul cartezian și relația R:

$$ R: \ \text{x este paralelă cu y} $$

Pentru a stabili dacă R este o relație de echivalență, verificăm pe rând cele trei proprietăți:

• Reflexivitate: Orice dreaptă este paralelă cu ea însăși, deoarece are aceeași direcție.
• Simetrie: Dacă dreapta x este paralelă cu dreapta y, atunci și y este paralelă cu x.
• Tranzitivitate: Dacă x este paralelă cu y, iar y este paralelă cu z, atunci și x este paralelă cu z.

Prin urmare, R îndeplinește toate cele trei condiții și este o relație de echivalență.

Exemplul 2

Să analizăm acum aceeași mulțime de drepte, dar cu o altă relație:

$$ R: \ \text{x este perpendiculară pe y} $$

Verificăm dacă această relație respectă cerințele unei relații de echivalență:

• Nereflexivă: Nicio dreaptă nu poate fi perpendiculară pe ea însăși.

Rezultă așadar că aceasta nu este o relație de echivalență.

Observație: Încălcarea unei singure proprietăți este suficientă pentru a exclude caracterul de relație de echivalență. În acest caz, lipsa reflexivității face inutilă verificarea celorlalte două condiții.

Alte exemple simple

• Relația "x are aceeași vârstă ca y" este de echivalență.
• Relația "x locuiește în aceeași casă cu y" este de echivalență.
• Relația "x cântărește la fel ca y" este de echivalență.
• Relația "x are aceeași culoare ca y" este de echivalență.

Clase de echivalență

Orice relație de echivalență induce, în mod natural, o partiție a mulțimii în clase de echivalență: submulțimi nevidente, disjuncte între ele, a căror reuniune coincide cu întreaga mulțime.

O partiție presupune împărțirea unei mulțimi în părți distincte, fără suprapuneri, astfel încât fiecare element să aparțină exact unei singure clase.

Aceste submulțimi se numesc clase de echivalență.

Mulțimea tuturor acestor clase poartă denumirea de mulțime factor (sau mulțime cât).

Exemplu: Fie mulțimea finită de numere întregi $$ X = \{ -5, -2, -1, 3, 4 \} $$ și definim relația "x are același semn ca y". Această relație este de echivalență, deoarece respectă reflexivitatea, simetria și tranzitivitatea. Mulțimea X se împarte astfel în două clase de echivalență: $$ C_1 = \{ 3, 4 \} $$ $$ C_2 = \{ -5, -2, -1 \} $$ Aceste clase sunt disjuncte și nevidente, iar reuniunea lor acoperă întreaga mulțime: $$ C_1 \cup C_2 = X $$ Prin urmare, mulțimea factor este formată din aceste două clase: $$ Q = \{ C_1, C_2 \} = \{ \{3, 4\}, \{-5, -2, -1\} \} $$ Observăm că fiecare element al mulțimii factor Q este, la rândul său, o mulțime.

Aceeași mulțime poate fi partiționată în mai multe moduri diferite.

Fiecărei partiții îi corespunde o relație de echivalență distinctă.

De pildă, o colecție de obiecte poate fi clasificată după culoare, greutate, preț sau alte criterii.

Și așa mai departe.