Las Caras Opuestas de un Paralelepípedo son Congruentes y Paralelas
Utilizando los principios de la geometría euclidiana, podemos demostrar que las caras opuestas de un paralelepípedo son tanto congruentes como paralelas.
Demostración
Un paralelepípedo es un sólido delimitado por seis caras, todas ellas paralelogramos.
Consideremos un paralelepípedo cuyos vértices se etiquetan como \( A, B, C, D, A', B', C', D' \), donde \( ABCD \) es una de sus caras, \( A'B'C'D' \) es la cara opuesta, y las otras cuatro caras también son paralelogramos.
Por definición, un paralelepípedo posee aristas opuestas de igual longitud:
\( AB = A'B' \)
\( BC = B'C' \)
\( CD = C'D' \)
\( DA = D'A' \)
Además, los ángulos correspondientes en las caras opuestas son iguales, ya que cada cara es un paralelogramo y mantiene ángulos internos congruentes.
Por tanto, al tener las mismas longitudes de lados y los mismos ángulos, las dos caras son congruentes, según el criterio de congruencia de paralelogramos:
$$ ABCD \cong A'B'C'D' $$
Este mismo razonamiento es aplicable a cada par de caras opuestas en un paralelepípedo.
Demostración del Paralelismo
Dos planos se consideran paralelos si nunca se cruzan y si uno puede obtenerse del otro mediante una traslación.
En el caso de un paralelepípedo:
- Cada par de caras opuestas está separado por una distancia constante, lo que implica que los planos permanecen equidistantes en todos sus puntos.
- Las aristas correspondientes de las caras opuestas son paralelas entre sí.
Por lo tanto, las caras opuestas se encuentran en planos paralelos, lo que confirma su condición de paralelismo.
Por ejemplo, dado que las caras opuestas $ ABCD \cong A'B'C'D' $ son congruentes, las caras $ AA'D'D || BB'C'C $ deben ser paralelas, ya que sus planos respectivos son equidistantes, y se cumple que $ AB \cong A'B' \cong CD \cong C'D' $. Lo mismo se verifica para todas las caras opuestas de un paralelepípedo.
Conclusión
Hemos demostrado que las caras opuestas de un paralelepípedo son congruentes, porque poseen lados y ángulos idénticos, y que son paralelas, ya que se encuentran en planos distintos, que no se intersecan y que se corresponden mediante una traslación.
Esta propiedad se cumple en todos los paralelepípedos, incluidos el cubo y el prisma rectangular.
Y así sucesivamente.
