Serie de Maclaurin de la Función Exponencial
La expansión en serie de Maclaurin de la función exponencial es: $$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) $$
Demostración
Partimos de la fórmula general de la serie de Maclaurin:
$$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} \cdot x^k + o(x^n) $$
En este caso, f(x) = ex.
Para k = 0
Como f(0)(x) = f(x) = ex:
$$ \frac{f^{(0)}(0)}{0!} \cdot x^0 = \frac{e^0}{0!} \cdot 1 = 1 $$
El primer término de la serie es:
$$ e^x = 1 + o(1) $$
Para k = 1
La primera derivada de ex es de nuevo ex:
$$ \frac{f^{(1)}(0)}{1!} \cdot x = \frac{e^0}{1!} \cdot x = x $$
Así, hasta el primer orden:
$$ e^x = 1 + x + o(x) $$
Para k = 2
La segunda derivada sigue siendo ex:
$$ \frac{f^{(2)}(0)}{2!} \cdot x^2 = \frac{e^0}{2!} \cdot x^2 = \frac{x^2}{2} $$
Hasta segundo orden:
$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2) $$
Para k = 3
La tercera derivada vuelve a ser ex:
$$ \frac{f^{(3)}(0)}{3!} \cdot x^3 = \frac{e^0}{3!} \cdot x^3 = \frac{x^3}{3!} $$
La expansión queda:
$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3) $$
Para k = 4
La cuarta derivada sigue siendo ex:
$$ \frac{f^{(4)}(0)}{4!} \cdot x^4 = \frac{e^0}{4!} \cdot x^4 = \frac{x^4}{4!} $$
Por tanto:
$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4) $$
Para k = 5
La quinta derivada sigue siendo ex:
$$ \frac{f^{(5)}(0)}{5!} \cdot x^5 = \frac{e^0}{5!} \cdot x^5 = \frac{x^5}{5!} $$
La serie hasta quinto orden es:
$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^5) $$
Gráficamente, la aproximación se representa de la siguiente manera:
Y así sucesivamente.
