Serie de Maclaurin de la Función Seno
La expansión en serie de Maclaurin de la función seno es: $$ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1}) $$
Demostración
Partimos de la fórmula general de Maclaurin:
$$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\, x^k + o(x^n) $$
En este caso, f(x) = sen(x).
Para k = 0
Como f(0)(x) = f(x) = sen(x):
$$ \frac{f^{(0)}(0)}{0!} \cdot x^0 = \frac{\sin(0)}{0!} \cdot 1 = 0 $$
El primer término es nulo:
$$ \sin(x) = o(1) $$
Para k = 1
La primera derivada de sen(x) es cos(x):
$$ \frac{f^{(1)}(0)}{1!} \cdot x = \frac{\cos(0)}{1!} \cdot x = x $$
Hasta primer orden:
$$ \sin(x) = x + o(x) $$
Para k = 2
La segunda derivada es -sen(x):
$$ \frac{f^{(2)}(0)}{2!} \cdot x^2 = \frac{-\sin(0)}{2!} \cdot x^2 = 0 $$
Por tanto:
$$ \sin(x) = x + o(x^2) $$
Para k = 3
La tercera derivada es -cos(x):
$$ \frac{f^{(3)}(0)}{3!} \cdot x^3 = \frac{-\cos(0)}{3!} \cdot x^3 = -\frac{x^3}{3!} $$
Así obtenemos:
$$ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3) $$
Para k = 4
La cuarta derivada vuelve a ser sen(x):
$$ \frac{f^{(4)}(0)}{4!} \cdot x^4 = \frac{\sin(0)}{4!} \cdot x^4 = 0 $$
Luego:
$$ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^4) $$
Para k = 5
La quinta derivada es cos(x):
$$ \frac{f^{(5)}(0)}{5!} \cdot x^5 = \frac{\cos(0)}{5!} \cdot x^5 = \frac{x^5}{5!} $$
Por tanto:
$$ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^5) $$
Para k = 6
Se advierte que los términos se alternan entre nulos y no nulos. De modo que, para k = 6, no aparece ningún término distinto de cero y la serie se mantiene:
$$ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^6) $$
Gráficamente, la aproximación se representa así:
Y así sucesivamente.
