Ley fundamental de la hidrostática
En un fluido en reposo, la presión aumenta con la profundidad $$ p = p_{at} + \rho g h $$ donde \( p \) es la presión a la profundidad \( h \), \( p_{at} \) es la presión atmosférica, \( \rho \) es la densidad del fluido, \( g \) es la aceleración de la gravedad y \( h \) es la profundidad.
La ley fundamental de la hidrostática explica cómo cambia la presión dentro de un fluido en equilibrio, como el agua en reposo.
La presión aumenta a medida que descendemos, es proporcional a la densidad del fluido y no depende de la forma del recipiente que lo contiene.
Esto ocurre porque la presión en un fluido tiene dos orígenes: por un lado, la presión atmosférica que actúa sobre la superficie libre; por otro, el peso de la columna de fluido situada por encima del punto considerado.
La presión no depende de la forma del recipiente. Este es uno de los resultados más importantes de la hidrostática. La presión en un punto del fluido depende únicamente de la profundidad y de la densidad, no de la geometría del recipiente. Por ello, dos recipientes con formas muy distintas pueden presentar la misma presión en el fondo si la altura del líquido es la misma.
Lo único que importa es la altura de la columna de fluido. A mayor profundidad, mayor cantidad de fluido por encima y, en consecuencia, mayor presión.
Derivación
Un fluido ejerce presión porque tiene masa y, por tanto, peso.
En cualquier punto del fluido, la presión se debe a la columna de fluido que se encuentra por encima, la cual ejerce una fuerza hacia abajo.
La presión total en un punto es, por tanto, la suma de dos contribuciones:
- la presión atmosférica en la superficie
- el peso del fluido situado por encima del punto considerado
Consideremos una columna cilíndrica de fluido de base \( A \) y altura \( h \).
El volumen del fluido es
$$ V = A h $$
Como el volumen se relaciona con la masa y la densidad mediante $ V = \frac{m}{\rho} $, la masa del fluido es
$$ m = \rho V = \rho A h $$
El peso del fluido se obtiene como
$$ W = m g = \rho A h g $$
La fuerza total que actúa sobre la base es la suma de la fuerza debida a la presión atmosférica y el peso del fluido:
$$ F = p_{at} A + \rho A h g $$
Dividiendo por el área \( A \), obtenemos la presión:
$$ \frac{F}{A} = \frac{ p_{at} A + \rho A h g}{A} $$
$$ p = \frac{F}{A} = p_{at} + \rho g h $$
Como se quería demostrar.
Ejemplo práctico
Un buceador que desciende en el agua percibe claramente el aumento de la presión.
De forma aproximada, por cada 10 metros de profundidad la presión aumenta en unas \( +1 \) atmósfera ( \( atm \) ).
En la superficie, la presión es de 1 atmósfera \( 1 \ atm \), que corresponde a la presión ejercida por el aire sobre el agua.
$$ 1 \ atm \approx 1.013 \cdot 10^5 \ Pa $$
Así, a 10 metros la presión es aproximadamente 2 atmósferas, a 20 metros unas 3, a 30 metros unas 4, y así sucesivamente.
Cuando el buceador libera burbujas de aire, estas ascienden hacia la superficie.
Su volumen no se mantiene constante. A mayor profundidad, las burbujas son más pequeñas debido a la mayor presión externa.
A medida que ascienden, la presión disminuye y el gas se expande, por lo que el volumen de las burbujas aumenta.
Diferencia de presión entre dos puntos separados por Δh
La diferencia de presión entre dos puntos a distinta altura es proporcional a la densidad del fluido y a la diferencia de altura $ \Delta h $ $$ p_2 - p_1 = \rho \cdot g \cdot \Delta h $$ donde \( \rho \) es la densidad del fluido y \( g \) es la aceleración de la gravedad.
Esta expresión permite calcular cómo cambia la presión entre dos puntos situados a diferentes profundidades dentro de un fluido en reposo.
Derivación
Consideremos dos puntos a distintas profundidades en el fluido.
Si el punto 2 está más profundo que el punto 1, entonces \( p_2 > p_1 \), ya que soporta el peso de una columna de fluido mayor.
$$ p_1 = p_{at} + \rho g h_1 $$
$$ p_2 = p_{at} + \rho g h_2 $$
La diferencia de presión es:
$$ p_2 - p_1 = ( p_{at} + \rho g h_2 ) - ( p_{at} + \rho g h_1 ) $$
$$ p_2 - p_1 = p_{at} + \rho g h_2 - p_{at} - \rho g h_1 $$
$$ p_2 - p_1 = \rho g (h_2 - h_1) $$
Dado que \( \Delta h = h_2 - h_1 \), se obtiene
$$ p_2 - p_1 = \rho g \Delta h $$
Como se quería demostrar.
Ejemplo
Consideremos agua con densidad \( \rho = 1000 \ kg/m^3 \).
A 10 metros de profundidad:
$$ p_1 = \rho g h \approx 1000 \ kg/m^3 \cdot 9.8 \ N/kg \cdot 10 \ m = 98000 \ N/m^2 = 98000 \ Pa $$
A 30 metros de profundidad:
$$ p_2 = \rho g h \approx 1000 \ kg/m^3 \cdot 9.8 \ N/kg \cdot 30 \ m = 294000 \ N/m^2 = 294000 \ Pa $$
La diferencia de presión es:
$$ p_2 - p_1 = 294000 \ Pa - 98000 \ Pa = 196000 \ Pa $$
El mismo resultado se obtiene directamente usando la fórmula, con \( \Delta h = 20 \ m \):
$$ p_2 - p_1 = \rho \cdot g \cdot \Delta h $$
$$ p_2 - p_1 = 1000 \ kg/m^3 \cdot 9.8 \ N/kg \cdot 20 \ m = 196000 \ N/m^2 = 196000 \ Pa $$
Ejemplo 2
Imagina una esfera de radio 20 cm completamente sumergida en un líquido. La presión en la parte superior es $ p_1 = 105.2 \ kPa $, mientras que en la parte inferior es $ p_2 = 107.2 \ kPa $. A partir de estos datos, queremos determinar la densidad del líquido.
En un fluido en reposo, la presión aumenta con la profundidad. Esta variación viene dada por la relación:
$$ p_2 - p_1 = \rho g \Delta h $$
Si despejamos la densidad, obtenemos:
$$ \rho = \frac{p_2 - p_1}{g \cdot \Delta h} $$
Primero calculamos la diferencia de presión:
$$ \Delta p = p_2 - p_1 = (107.2 - 105.2) \ kPa = 2 \ kPa = 2 \cdot 10^3 \ Pa $$
Tomamos como valor de la aceleración de la gravedad:
$$ g = 9.81 \ N \, kg^{-1} $$
La distancia vertical entre la parte superior e inferior de la esfera coincide con su diámetro. Dado que el radio es 20 cm, el diámetro es:
$$ \Delta h = 40 \ cm = 0.4 \ m $$
Ahora sustituimos todos los valores en la expresión de la densidad:
$$ \rho = \frac{p_2 - p_1}{g \cdot \Delta h} $$
$$ \rho = \frac{2 \cdot 10^3 \ Pa}{(9.81 \ N \, kg^{-1}) \cdot (0.4 \ m)} $$
$$ \rho = \frac{2 \cdot 10^3}{9.81 \cdot 0.4} \ \frac{Pa}{m \, N \, kg^{-1}} $$
$$ \rho = 509 \ \frac{kg \, Pa}{m \, N} $$
Para expresar correctamente el resultado, convertimos la unidad de presión utilizando la equivalencia $ Pa = N/m^2 = N \, m^{-2} $:
$$ \rho = 509 \ \frac{kg \, (N \, m^{-2})}{m \, N} $$
$$ \rho = 509 \ kg \, m^{-3} $$
Por tanto, la densidad del líquido es aproximadamente:
$$ \rho \approx 5.1 \cdot 10^2 \ kg/m^3 $$
Este valor es aproximadamente la mitad de la densidad del agua ( $ \rho_{agua} = 1000 \ kg/m^3 $ ). Esto indica que el líquido es considerablemente menos denso, como ocurre, por ejemplo, con muchos aceites.
Y así sucesivamente.
