Principio de los vasos comunicantes
Los vasos comunicantes son recipientes interconectados en los que un líquido, en equilibrio hidrostático, se sitúa al mismo nivel en todos los ramales, siempre que la presión en la superficie libre sea la misma y el fluido tenga densidad constante.
Imagina dos recipientes unidos por un tubo y llenos con el mismo líquido de densidad \( d \). Aunque tengan formas distintas, el comportamiento del fluido viene determinado por las leyes de la hidrostática.
Si ambos están abiertos al aire, la presión en la superficie libre \( p_0 \) es igual en los dos. En estas condiciones, el líquido se estabiliza a una misma altura \( h \).
¿Por qué el nivel se iguala?
La clave está en cómo varía la presión dentro de un fluido en reposo. La relación fundamental es:
\[ p = p_0 + dgh \]
Esta expresión indica que la presión aumenta con la profundidad. A una misma profundidad \( h \), la presión es la misma en cualquier punto del fluido.
Por eso, en los vasos comunicantes, la presión en el fondo de ambos recipientes es idéntica. Al no existir diferencia de presiones, no hay fuerzas que provoquen movimiento, y el líquido permanece en equilibrio.
¿Qué ocurre si los niveles son distintos?
Si inicialmente los niveles no coinciden, las profundidades \( h \) en cada ramal son diferentes.
En este caso, la presión en el fondo ya no es la misma. En el recipiente donde el nivel es mayor, la presión también es mayor:
\[ p_1 = p_0 + dgh_1 \]
\[ p_2 = p_0 + dgh_2 \]
Esta diferencia de presión genera una fuerza que empuja el fluido desde el recipiente con mayor nivel hacia el otro.
El líquido fluye hasta que se alcanza una nueva situación de equilibrio, en la que las presiones vuelven a ser iguales:
\[ p_0 + dgh_1 = p_0 + dgh_2 \]
Dado que \( d \), \( g \) y \( p_0 \) son iguales en ambos recipientes, se obtiene:
\[ \require{cancel} \cancel{p_0} + \cancel{dg}h_1 = \cancel{p_0} + \cancel{dg} h_2 \]
De donde se deduce:
\[ h_1 = h_2 \]
Es decir, el sistema evoluciona hasta que el líquido alcanza el mismo nivel en ambos recipientes.
Nota. Este principio está presente en numerosos sistemas reales. Por ejemplo, el agua en redes de abastecimiento, depósitos conectados o tuberías tiende a distribuirse de forma que los niveles se igualen de manera natural.
Ejemplo práctico
Consideremos dos recipientes de distinta forma conectados por la base.
Al inicio, el nivel del agua es de 20 cm en el primer recipiente y de 10 cm en el segundo.
La presión en el fondo del primer recipiente es mayor ( \( p_1 > p_2 \) ), por lo que el agua comienza a desplazarse hacia el segundo.
El flujo continúa hasta que se alcanza un nivel común, por ejemplo 17 cm.
Este resultado muestra un hecho importante: la forma del recipiente no influye en el nivel final. Lo que determina el equilibrio es la igualdad de presiones.
Nota. El nivel final depende de la cantidad total de líquido y de la geometría de los recipientes. Solo coincide con la media de los niveles iniciales si ambos recipientes tienen la misma sección transversal. En este ejemplo, el recipiente con mayor nivel inicial también es más grande, por lo que el nivel final (17 cm) queda más cerca de 20 cm que de 10 cm. Si los recipientes fueran idénticos, el nivel final sería 15 cm, es decir, la media de los valores iniciales.
Este mismo razonamiento puede extenderse a sistemas más complejos con varios recipientes interconectados.
Principio de los vasos comunicantes (líquidos inmiscibles)
En vasos comunicantes que contienen líquidos inmiscibles en equilibrio, las alturas de las columnas líquidas son inversamente proporcionales a sus densidades. $$ \frac{h_1}{h_2} = \frac{d_2}{d_1} $$
En otras palabras, cuando los líquidos no se mezclan, los niveles en los vasos comunicantes no coinciden: el líquido menos denso alcanza una mayor altura.
Este resultado solo es válido para líquidos inmiscibles, como el agua y el aceite.
Si los líquidos son miscibles, se combinan formando un único fluido homogéneo. En ese caso, deja de tener sentido hablar de dos columnas con densidades distintas y, en equilibrio, la superficie libre del fluido queda al mismo nivel en ambas ramas.
Ejemplo
Partimos de dos vasos comunicantes llenos de agua. Como se trata del mismo líquido, los niveles son iguales.
Ahora vertemos aceite en uno de los recipientes. A partir de ese momento, los niveles dejan de coincidir.
En la rama donde se añade el aceite, la altura es $ h_2 = 5.00 \ cm $, mientras que en la otra rama, que contiene solo agua, la altura es menor ( $ h_1 < h_2 $ ).
¿Cuál es la altura $ h_1 $? Sabemos que las densidades son:
$$ d_{acqua} = 1.00 \cdot 10^3 \ kg/m^3 $$
$$ d_{olio} = 9.20 \cdot 10^2 \ kg/m^3 $$
Aplicamos el principio de los vasos comunicantes:
$$ \frac{h_1}{h_2} = \frac{d_2}{d_1} $$
Despejamos $ h_1 $:
$$ h_1 = h_2 \cdot \frac{d_2}{d_1} $$
Convertimos la altura del aceite a metros:
$$ h_2 = 5.00 \ cm = 0.05 \ m $$
Sustituimos los valores:
$$ h_1 = (0.05 \ m) \cdot \frac{9.20 \cdot 10^2}{1.00 \cdot 10^3} $$
Simplificamos:
$$ h_1 = (0.05 \ m) \cdot 0.92 $$
Resultado final:
$$ h_1 = 0.046 \ m $$
Es decir, el nivel del agua sube 4.6 cm, menos que el aceite, que alcanza 5 cm. Esto confirma que el líquido menos denso se eleva más.
Demostración
Consideremos dos vasos comunicantes con líquidos inmiscibles.
Elegimos dos puntos A y B situados a la misma altura en ambas ramas. En equilibrio hidrostático, la presión en esos puntos debe ser la misma:
$$ p_1 = p_2 $$
La presión en un fluido en reposo viene dada por:
$$ p = p_0 + dgh $$
Aplicando esta expresión en cada rama:
$$ p_1 = p_0 + d_1 h_1 g $$
$$ p_2 = p_0 + d_2 h_2 g $$
Igualamos:
$$ p_0 + d_1 h_1 g = p_0 + d_2 h_2 g $$
Eliminamos la presión atmosférica:
$$ d_1 h_1 g = d_2 h_2 g $$
Simplificamos la gravedad:
$$ d_1 h_1 = d_2 h_2 $$
Reordenamos la expresión:
$$ \frac{h_1}{h_2} = \frac{d_2}{d_1} $$
Así se obtiene el principio de los vasos comunicantes para líquidos inmiscibles.
