Intégrale d'une matrice

L’intégrale d’une matrice s’obtient en intégrant séparément chacun de ses éléments, de la même manière que l’on intègre des fonctions réelles ou complexes.

Si $ A(t) $ est une matrice de dimensions $ m \times n $ dépendant d’une variable $ t $, son intégrale s’écrit :

$$ \int A(t) \, dt = \begin{pmatrix} \int a_{11}(t) \, dt & \dots & \int a_{1n}(t) \, dt \\ \int a_{21}(t) \, dt & \dots & \int a_{2n}(t) \, dt \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \int a_{m1}(t) \, dt & \dots & \int a_{mn}(t) \, dt \end{pmatrix} $$

Autrement dit, chaque composante $ a_{ij}(t) $ est intégrée de façon indépendante, exactement comme une fonction scalaire ordinaire.

Le résultat est une nouvelle matrice de mêmes dimensions $ m \times n $, dont chaque entrée correspond à l’intégrale de l’élément associé de $ A(t) $.

Exemple concret

Considérons la matrice suivante, fonction de la variable $ t $ :

$$ A(t) = \begin{pmatrix} 2t & t^2 \\ \sin(t) & e^t \end{pmatrix} $$

Il s’agit d’une matrice carrée d’ordre 2, c’est-à-dire comportant deux lignes et deux colonnes.

Intégrons séparément chacun de ses éléments par rapport à $ t $ :

$ \int a_{11}(t) \, dt = \int 2t \, dt = t^2 + C_1 $
$ \int a_{12}(t) \, dt = \int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} + C_2 $
$ \int a_{21}(t) \, dt = \int \sin(t) \, dt = -\cos(t) + C_3 $
$ \int a_{22}(t) \, dt = \int e^t \, dt = e^t + C_4 $

Les constantes $ C_1, C_2, C_3, C_4 $ sont des constantes d’intégration distinctes, associées à chaque entrée de la matrice.

On obtient donc :

$$ \int A(t) \, dt = \begin{pmatrix} t^2 + C_1 & \frac{t^3}{3} + C_2 \\ -\cos(t) + C_3 & e^t + C_4 \end{pmatrix} $$

Ce procédé se généralise sans difficulté aux matrices de dimensions quelconques.