Les faces opposées d'un parallélépipède sont isométriques et parallèles

Dans un parallélépipède, les faces opposées ont une propriété fondamentale : elles sont isométriques et parallèles. Elles ont donc exactement la même forme et les mêmes dimensions, tout en appartenant à deux plans parallèles.

Démonstration

Un parallélépipède est un polyèdre à six faces, toutes formées par des parallélogrammes.

Considérons un parallélépipède dont les sommets sont notés \( A, B, C, D, A', B', C', D' \). Les faces \( ABCD \) et \( A'B'C'D' \) sont opposées. Les quatre autres faces sont également des parallélogrammes.

Comme les faces latérales sont des parallélogrammes, leurs côtés opposés ont la même longueur. On a donc :

\( AB = A'B' \)
\( BC = B'C' \)
\( CD = C'D' \)
\( DA = D'A' \)

De plus, les côtés correspondants des deux faces sont parallèles :

\( AB \parallel A'B' \)
\( BC \parallel B'C' \)
\( CD \parallel C'D' \)
\( DA \parallel D'A' \)

On peut alors observer que la face \( A'B'C'D' \) est l'image de la face \( ABCD \) par la translation qui envoie \( A \) sur \( A' \). Or une translation est une isométrie : elle conserve les distances et les angles. Les deux faces ont donc la même forme et les mêmes dimensions. Elles sont isométriques :

$$ ABCD \cong A'B'C'D' $$

Le même raisonnement s'applique à chacune des trois paires de faces opposées du parallélépipède.

Pourquoi les faces opposées sont-elles parallèles ?

Dans l'espace euclidien, deux plans distincts sont parallèles lorsqu'ils n'ont aucun point commun. Pour établir le parallélisme de deux plans, on peut notamment montrer que l'un contient deux droites sécantes respectivement parallèles à deux droites sécantes de l'autre.

Considérons à nouveau les faces opposées \( ABCD \) et \( A'B'C'D' \) :

• les droites \( AB \) et \( AD \), sécantes dans le plan \( (ABCD) \), sont respectivement parallèles aux droites \( A'B' \) et \( A'D' \), sécantes dans le plan \( (A'B'C'D') \) ;
• les deux plans sont distincts, puisque les deux faces considérées sont opposées.

On en déduit que les plans \( (ABCD) \) et \( (A'B'C'D') \) sont parallèles. Les faces qu'ils contiennent sont donc elles aussi parallèles.

Prenons maintenant les faces opposées \( AA'D'D \) et \( BB'C'C \). Elles sont elles aussi isométriques et parallèles. Leurs côtés correspondants sont de même longueur et parallèles. On a notamment \( AD = BC \), \( AA' = BB' \), \( A'D' = B'C' \) et \( DD' = CC' \). De plus, les plans contenant ces deux faces sont parallèles. Le même raisonnement s'applique à chacune des paires de faces opposées du parallélépipède.

Conclusion

Les faces opposées d'un parallélépipède sont donc isométriques, puisque l'une s'obtient à partir de l'autre par une translation, qui conserve les distances et les angles. Elles sont également parallèles, car elles appartiennent à deux plans parallèles.

Cette propriété est valable pour tout parallélépipède. Elle s'applique donc également à ses cas particuliers, notamment au parallélépipède rectangle, couramment appelé pavé droit, ainsi qu'au cube.

Ainsi, chacune des trois paires de faces opposées d'un parallélépipède possède la même propriété : les deux faces sont isométriques et parallèles.