Cube

Un cube est un polyèdre régulier constitué de six faces carrées isométriques. Il possède douze arêtes de même longueur et huit sommets.

Chacune de ses six faces est un carré. Le cube est donc également appelé hexaèdre régulier.

Le mot “hexaèdre” vient du grec : “hexa” signifie “six” et “hedron” signifie “face” ou “base”. Le qualificatif “régulier” indique que toutes les faces sont des polygones réguliers isométriques et que la même configuration de faces se retrouve à chacun des sommets.

D'un point de vue géométrique, le cube est un cas particulier de parallélépipède rectangle dont les trois dimensions, longueur (l), largeur (w) et hauteur (h), sont égales.

Chaque face du cube partage une arête avec quatre autres faces. Le cube compte ainsi 12 arêtes, toutes de même longueur.

Il possède également 8 sommets. En chacun d'eux se rencontrent trois arêtes et trois faces deux à deux perpendiculaires.

Cette structure confère au cube une remarquable régularité et de nombreuses symétries. Il constitue ainsi l'un des solides fondamentaux étudiés en géométrie. Le cube est l'un des cinq solides de Platon, c'est-à-dire l'un des cinq polyèdres réguliers convexes.

Formules du cube

Grâce à sa structure régulière, les principales formules du cube sont particulièrement simples. Il suffit de connaître la longueur d'une arête, notée l, pour déterminer son volume, son aire et sa grande diagonale.

• Volume
  Le volume du cube s'obtient en élevant la longueur d'une arête au cube : $$ V = l^3 $$

  Remarque. Le cube est un cas particulier de parallélépipède rectangle dont les trois dimensions sont égales. La formule de son volume est donc un cas particulier de la formule générale du volume d'un parallélépipède rectangle.

• Aire totale
  Le cube possède six faces carrées identiques. Son aire totale s'obtient donc en additionnant les aires de ses six faces : $$ A = 6l^2 $$
• Aire d'une face
  Chaque face étant un carré de côté l, son aire est donnée par : $$ A_B = l^2 $$

  Remarque. Cette relation permet de retrouver directement la formule de l'aire totale. Puisque le cube possède six faces de même aire (A_B = l²), on obtient : A = 6A_B = 6l².

• Grande diagonale
  La grande diagonale relie deux sommets opposés du cube en traversant son intérieur. Sa longueur s'obtient en multipliant la longueur d'une arête par la racine carrée de trois : $$ d = l \cdot \sqrt{3} $$

Ainsi, dès que l'on connaît la longueur d'une arête (l), on peut calculer directement le volume, l'aire totale, l'aire d'une face et la longueur d'une grande diagonale du cube.

Symétries du cube

Le cube se distingue par son grand nombre de symétries. Il possède notamment plusieurs axes de rotation autour desquels certaines rotations le laissent invariant.

On distingue trois types d'axes de rotation :

• Trois axes passant par les centres de deux faces opposées.
  Autour de chacun de ces axes, le cube reste invariant après une rotation d'un quart de tour, d'un demi-tour ou de trois quarts de tour.
  
• Six axes passant par les milieux de deux arêtes opposées.
  Autour de chacun de ces axes, une rotation d'un demi-tour laisse le cube invariant.
  
• Quatre axes correspondant aux grandes diagonales du cube.
  Ces diagonales relient deux sommets opposés. Chacune d'elles constitue un axe autour duquel une rotation d'un tiers ou de deux tiers de tour laisse le cube invariant.
  

Les quatre grandes diagonales du cube se coupent en un point unique, appelé centre de symétrie du cube. Ce point est également le centre de la sphère circonscrite au cube, c'est-à-dire de la sphère passant par ses huit sommets.

Les symétries du cube présentent également un grand intérêt en algèbre, notamment en théorie des groupes. Le groupe des rotations du cube comporte 24 éléments et est isomorphe au groupe symétrique S₄.

Propriétés du cube

Le cube possède plusieurs propriétés remarquables qui découlent directement de sa régularité :

• Le cube est l'unique parallélépipède rectangle dont les trois dimensions sont égales.
• Parmi tous les parallélépipèdes rectangles ayant la même aire totale, le cube est celui dont le volume est maximal.
• En mathématiques, “élever au cube” signifie élever un nombre à la puissance trois.
  Cette expression est directement liée à la formule du volume du cube, dans laquelle la longueur de l'arête (l) est élevée à la troisième puissance : $$ V = l^3 $$ Ainsi, “élever au cube” un nombre revient à le multiplier trois fois par lui-même.
• Toutes les faces du cube sont isométriques : elles ont exactement la même forme et les mêmes dimensions et sont donc superposables.

Et ainsi de suite.