Prisme droit
Un prisme droit est un solide géométrique formé de deux bases polygonales parallèles et superposables, reliées par des faces latérales rectangulaires.
Les bases peuvent être des polygones quelconques, réguliers ou non, comme des triangles, des quadrilatères ou des pentagones. Elles ont la même forme et les mêmes dimensions et sont situées dans deux plans parallèles.
Les faces latérales sont des rectangles. Leur nombre est égal au nombre de côtés du polygone qui constitue la base. Ainsi, un prisme droit à base pentagonale possède cinq faces latérales.
Un prisme droit est un cas particulier de prisme dont les arêtes latérales sont perpendiculaires aux plans des bases. Les faces latérales sont donc elles-mêmes perpendiculaires aux bases et ont toutes la forme de rectangles. Cette structure géométrique simple et régulière explique pourquoi les prismes droits sont fréquemment utilisés comme modèles en géométrie, mais aussi dans des domaines tels que l'architecture, l'ingénierie et la conception.
La hauteur du prisme est la distance entre les deux plans parallèles contenant les bases. Dans un prisme droit, elle est égale à la longueur de chacune des arêtes latérales.
Formules du prisme droit
Pour étudier un prisme droit, trois grandeurs sont particulièrement importantes : l'aire latérale, l'aire totale et le volume.
- Aire latérale
L'aire latérale correspond à la somme des aires de toutes les faces latérales. Dans un prisme droit, elle s'obtient en multipliant le périmètre de la base (P) par la hauteur (h) du prisme : $$ A_L = P \cdot h $$ - Aire totale
L'aire totale correspond à l'ensemble de la surface du prisme. Elle est égale à la somme de l'aire latérale (AL) et des aires des deux bases. Comme les deux bases sont superposables, elles ont la même aire AB. On obtient donc : $$ A = A_L + 2A_B $$ - Volume
Le volume mesure l'espace occupé par le prisme. Il est égal au produit de l'aire de la base (AB) par la hauteur (h) : $$ V = A_B \cdot h $$
Exemple pratique
Considérons un prisme droit dont la base est un pentagone régulier. Chaque côté du pentagone mesure 3 cm et la hauteur du prisme est de 10 cm.
Nous allons calculer l'aire totale et le volume de ce prisme.
Pour commencer, déterminons le périmètre de la base (PB) et son aire (AB). Les deux bases étant superposables, il suffit d'effectuer les calculs pour l'une d'elles.
La base est un pentagone régulier dont chacun des cinq côtés mesure 3 cm.
Le périmètre de la base (PB) est donc :
$$ P_B = 3 \cdot 5 = 15 \ cm $$
Pour déterminer l'aire du pentagone, calculons d'abord son apothème. Pour un pentagone régulier de côté s, la longueur de l'apothème est donnée par la formule :
$$ a = \frac{s}{2\tan(36^\circ)} $$
Comme le côté mesure 3 cm, nous obtenons :
$$ a = \frac{3}{2\tan(36^\circ)} $$
$$ a \approx 3 \cdot 0.688 = 2.064 \ cm $$
L'apothème mesure donc environ 2,064 cm.
Nous pouvons maintenant calculer l'aire de la base (AB). L'aire d'un polygone régulier est égale à la moitié du produit de son périmètre par son apothème :
$$ A_B = a \cdot \frac{P_B}{2} $$
En remplaçant les valeurs connues :
$$ A_B = 2.064 \cdot \frac{15}{2} $$
$$ A_B = 2.064 \cdot 7.5 = 15.48 \ cm^2 $$
L'aire de la base est donc d'environ 15,48 cm2.
Nous disposons maintenant de toutes les données nécessaires pour calculer l'aire latérale, l'aire totale et le volume du prisme.
L'aire latérale (AL) s'obtient en multipliant le périmètre de la base (PB = 15 cm) par la hauteur du prisme (h = 10 cm) :
$$ A_L = P_B \cdot h $$
$$ A_L = 15 \ cm \cdot 10 \ cm = 150 \ cm^2 $$
L'aire latérale du prisme est donc de 150 cm2.
Calculons ensuite l'aire totale (A). Il faut additionner l'aire latérale (AL) et le double de l'aire de la base (2AB) :
$$ A = A_L + 2A_B $$
$$ A = 150 \ cm^2 + 2 \cdot 15.48 \ cm^2 $$
$$ A = 150 \ cm^2 + 30.96 \ cm^2 $$
On obtient donc une aire totale d'environ 180,96 cm2.
$$ A = 180.96 \ cm^2 $$
Enfin, calculons le volume du prisme en multipliant l'aire de la base (AB = 15,48 cm2) par la hauteur (h = 10 cm) :
$$ V = A_B \cdot h $$
$$ V = 15.48 \ cm^2 \cdot 10 \ cm $$
$$ V = 154.8 \ cm^3 $$
Le volume du prisme est donc d'environ 154,8 cm3.
Pour résoudre ce type d'exercice, la méthode est toujours la même : on détermine d'abord les caractéristiques géométriques de la base, puis on utilise le périmètre et l'aire de cette base pour calculer successivement l'aire latérale, l'aire totale et le volume du prisme droit.
