Les prismes

Un prisme est un polyèdre qui possède deux faces polygonales parallèles et superposables, appelées bases. Ses autres faces, appelées faces latérales, sont des parallélogrammes.

Le prisme est l'un des solides fondamentaux de la géométrie dans l'espace. Sa structure permet d'étudier simplement de nombreuses propriétés des polyèdres, notamment leur volume et leur aire.

Principales caractéristiques d'un prisme

Les deux faces polygonales parallèles et superposables sont appelées les bases du prisme. Elles peuvent avoir la forme de n'importe quel polygone.

Chaque côté d'une base constitue une arête de base.

La forme des bases détermine le nom du prisme. Ainsi, un prisme dont les bases sont des triangles est appelé prisme triangulaire. Si les bases sont des quadrilatères, on parle de prisme quadrangulaire. Si elles ont cinq côtés, il s'agit d'un prisme pentagonal, si elles en ont six, d'un prisme hexagonal, et ainsi de suite. Lorsque les bases sont des polygones réguliers, on parle de prisme régulier. Dans le cas contraire, le prisme est dit « irrégulier ».

Les autres faces du prisme sont appelées faces latérales. Ce sont des parallélogrammes qui relient les côtés correspondants des deux bases.

Les segments qui relient les sommets correspondants des deux bases sont appelés arêtes latérales.

Dans un prisme, toutes les arêtes latérales sont parallèles entre elles et ont la même longueur.

La hauteur du prisme correspond à la distance entre les deux plans parallèles contenant ses bases. Il s'agit donc d'une distance mesurée perpendiculairement à ces deux plans.

Les diagonales du prisme sont les segments qui relient deux sommets du prisme n'appartenant pas à une même face.

Types de prismes

Une première façon de classer les prismes consiste à considérer la forme de leurs bases :

• Prisme triangulaire
  Ses bases sont des triangles.
• Prisme quadrangulaire
  Ses bases sont des quadrilatères.
• Prisme pentagonal
  Ses bases sont des pentagones.
  
• Parallélépipède
  Un parallélépipède est un prisme dont les bases sont des parallélogrammes.
  

La même règle s'applique à toute autre base polygonale : le nom du prisme dépend du polygone qui constitue ses bases.

On peut également classer les prismes selon l'orientation de leurs arêtes latérales par rapport aux plans des bases :

• Prisme droit
  Dans un prisme droit, les arêtes latérales sont perpendiculaires aux plans des bases. Les faces latérales sont donc des rectangles et la longueur des arêtes latérales est égale à la hauteur du prisme.
  
• Prisme oblique
  Dans un prisme oblique, les arêtes latérales ne sont pas perpendiculaires aux plans des bases. Ses faces latérales restent des parallélogrammes, mais elles ne sont pas nécessairement des rectangles.
  
• Prisme indéfini
  Un prisme indéfini est une figure géométrique engendrée par un polygone et par l'ensemble des droites passant par les points de ce polygone et parallèles à une droite donnée \( r \), celle-ci n'étant pas parallèle au plan du polygone. La figure ainsi obtenue s'étend indéfiniment dans les deux sens suivant ces droites parallèles et forme un solide prismatique non borné.
  
• Prisme limité
  Un prisme limité, généralement appelé simplement prisme, est la portion d'un prisme indéfini comprise entre deux plans parallèles qui coupent ses génératrices. Il est délimité par deux bases polygonales parallèles et superposables ainsi que par des faces latérales en forme de parallélogrammes.
  

Volume et aire d'un prisme

Le volume d'un prisme se calcule en multipliant l'aire \(A\) de sa base par sa hauteur \(h\) :

$$ V = A \cdot h $$

Cette formule est valable aussi bien pour les prismes droits que pour les prismes obliques, la hauteur désignant toujours la distance perpendiculaire entre les plans des deux bases.

L'aire totale \(S\) d'un prisme est obtenue en additionnant les aires de ses deux bases et celles de toutes ses faces latérales.

Dans le cas particulier d'un prisme droit, si \(P\) désigne le périmètre de la base et \(h\) la hauteur du prisme, l'aire latérale est :

$$ A_{\text{latérale}} = P \cdot h $$

L'aire totale du prisme droit s'exprime donc par :

$$ S = 2A + P \cdot h $$

Prisme droit

Un prisme droit est un prisme dont les arêtes latérales sont perpendiculaires aux plans des bases.

Cette propriété entraîne une conséquence importante : les faces latérales sont des rectangles et la hauteur du prisme est égale à la longueur de ses arêtes latérales.

Remarques

Plusieurs propriétés permettent de comparer les volumes de différents prismes et d'établir des relations simples entre l'aire de leurs bases, leur hauteur et leur volume.

• Théorème d'équivalence des prismes
  Deux prismes ont le même volume si leurs bases ont la même aire et si leurs hauteurs sont égales.

  Démonstration. Considérons deux prismes, qui ne sont pas nécessairement superposables, reposant sur un même plan $ \pi $. Par hypothèse, les bases des deux solides ont la même aire, $ \text{Aire}(ABC) = \text{Aire}(ABCD) $, et les deux prismes ont la même hauteur $ AH $.
  
  Soit $ \pi' $ un plan quelconque parallèle au plan des bases et coupant les deux prismes. Les sections obtenues, $A'B'C'$ et $A'B'C'D'$, sont respectivement superposables aux bases correspondantes. En effet, dans un prisme, toute section par un plan parallèle aux bases est l'image d'une base par une translation suivant la direction des arêtes latérales. Elle est donc superposable à cette base et possède, en particulier, la même aire.
  
  Ainsi, tout plan $ \pi' $ parallèle aux bases détermine, dans les deux solides, des sections de même aire. D'après le principe de Cavalieri, les deux solides ont donc le même volume. Les deux prismes sont par conséquent des solides de même volume.

• Si deux prismes ont des bases de même aire, leurs volumes sont proportionnels à leurs hauteurs.

  Démonstration. Le volume $V$ d'un prisme est égal au produit de l'aire de sa base par sa hauteur, c'est-à-dire par la distance entre les deux plans parallèles contenant les bases : $$ V = A_B \cdot h $$ où $A_B$ désigne l'aire de la base et $h$ la hauteur du prisme. Si deux prismes ont des bases de même aire $A_B$ et le même volume, ils ont nécessairement la même hauteur : $$ V_1 = V_2 \quad \text{et} \quad A_{B_1} = A_{B_2} \quad \Rightarrow \quad h_1 = h_2 $$ Réciproquement, si les deux prismes ont la même aire de base mais des volumes différents, leurs volumes sont directement proportionnels à leurs hauteurs : $$ \frac{V_1}{V_2} = \frac{A_B \cdot h_1}{A_B \cdot h_2} = \frac{h_1}{h_2} $$ En résumé, lorsque l'aire de la base reste constante, le volume d'un prisme est directement proportionnel à sa hauteur.

Ces résultats montrent que, pour étudier le volume d'un prisme, les deux grandeurs essentielles sont l'aire de sa base et sa hauteur.