Parallélépipède
Un parallélépipède est un type de prisme dont les bases sont des parallélogrammes.
Ce polyèdre possède 6 faces, toutes en forme de parallélogramme, ainsi que 12 arêtes et 8 sommets.
Le parallélépipède présente plusieurs propriétés géométriques importantes :
- Les faces opposées sont parallèles et isométriques.
- Les arêtes opposées sont parallèles et de même longueur.
- Les quatre grandes diagonales qui relient deux sommets opposés sont concourantes en leur milieu.
Les longueurs des trois arêtes issues d'un même sommet sont appelées les dimensions du parallélépipède.
L'étude des parallélépipèdes remonte à la géométrie grecque antique. Dans les Éléments, Euclide étudie notamment les propriétés de solides délimités par des parallélogrammes.
Les différents types de parallélépipèdes
Tous les parallélépipèdes ont des faces en forme de parallélogramme, mais leur géométrie peut varier. On distingue ainsi plusieurs types selon la forme des faces et la disposition des arêtes.
- Parallélépipède droit
Dans un parallélépipède droit, les arêtes latérales sont perpendiculaires aux plans des bases. Par conséquent, ses faces latérales sont des rectangles.
- Parallélépipède rectangle
Dans un parallélépipède rectangle, toutes les faces sont des rectangles. Il s'agit donc d'un parallélépipède droit dont les bases sont elles-mêmes rectangulaires.
- Parallélépipède oblique
Dans un parallélépipède oblique, les arêtes latérales ne sont pas perpendiculaires aux plans des bases. Les faces latérales sont donc des parallélogrammes qui ne sont pas tous des rectangles.
En géométrie dans l'espace, on rencontre également plusieurs cas particuliers de parallélépipèdes :
- Rhomboèdre
Un rhomboèdre est un parallélépipède dont les six faces sont des losanges isométriques.
- Cube
Le cube est un parallélépipède dont les six faces sont des carrés isométriques. Il constitue à la fois un cas particulier de parallélépipède rectangle et de rhomboèdre.
Formules du parallélépipède
Comme pour tout prisme, le volume V d'un parallélépipède se calcule en multipliant l'aire de l'une de ses bases AB par sa hauteur h. La hauteur correspond ici à la distance entre les plans contenant les deux bases.
$$ V = A_B \cdot h $$
Parallélépipède rectangle
Considérons maintenant un parallélépipède rectangle de dimensions l (longueur), w (largeur) et h (hauteur) :
Son volume V s'obtient en multipliant les trois dimensions :
$$ V = l \cdot w \cdot h $$
Commençons par calculer l'aire de la base :
$$ A_B = l \cdot w $$
En multipliant cette aire par la hauteur h, on retrouve la formule générale du volume d'un prisme :
$$ V = A_B \cdot h $$
Cette relation s'applique directement puisque le parallélépipède rectangle est un cas particulier de prisme droit.
Pour calculer l'aire latérale SL, on multiplie le périmètre de la base, 2(w+l), par la hauteur h :
$$ S_L = 2 \cdot (w + l) \cdot h $$
Le périmètre de la base est :
$$ P_B = 2(w+l) $$
La formule précédente peut donc également s'écrire :
$$ S_L = P_B \cdot h $$
On peut retrouver le même résultat en additionnant directement les aires des quatre faces latérales :
$$ S_L = 2 \cdot (w \cdot h + l \cdot h) $$
L'aire totale ST correspond à la somme des aires des six faces du parallélépipède rectangle. Elle est donc égale à l'aire latérale SL=2(w+l)h, à laquelle on ajoute les aires des deux bases, soit 2lw :
$$ S_T = 2(w+l)h + 2lw $$
Développons cette expression :
$$ S_T = 2wh + 2lh + 2lw $$
On obtient ainsi la formule usuelle :
$$ S_T = 2lw + 2lh + 2wh $$
Remarque. L'aire totale $ A_t $ est égale à la somme de l'aire latérale $ A_l $ et du double de l'aire d'une base $ A_b $. Le patron d'un parallélépipède rectangle permet de visualiser les six rectangles qui constituent sa surface et de comprendre immédiatement l'origine de cette formule.
La grande diagonale d d'un parallélépipède rectangle est le segment qui relie deux sommets opposés. Sa longueur se calcule en appliquant deux fois le théorème de Pythagore.
On commence par déterminer la diagonale de la base :
$$ d_B = \sqrt{l^2+w^2} $$
La grande diagonale d forme ensuite, avec la diagonale de la base dB et la hauteur h, un triangle rectangle. On a donc :
$$ d^2 = d_B^2+h^2 $$
Comme $d_B^2=l^2+w^2$, on obtient :
$$ d^2 = l^2+w^2+h^2 $$
Il suffit enfin de prendre la racine carrée des deux membres :
$$ d = \sqrt{l^2+w^2+h^2} $$
Parallélépipède rectangle
Un parallélépipède rectangle est un solide à trois dimensions dont les bases et les faces latérales sont des rectangles.
Les dimensions d'un parallélépipède correspondent aux longueurs des trois arêtes issues d'un même sommet. Elles sont ici notées \( a, b, c \).
Remarque. La notion de dimensions est particulièrement facile à visualiser dans le cas d'un parallélépipède rectangle, car les trois arêtes issues d'un même sommet sont perpendiculaires deux à deux. Sa géométrie est donc simple à étudier et ses dimensions faciles à mesurer. On peut notamment calculer la longueur de ses diagonales à l'aide du théorème de Pythagore. Dans un parallélépipède quelconque, on peut également considérer les longueurs des trois arêtes issues d'un même sommet, mais les calculs faisant intervenir les arêtes et les diagonales deviennent plus complexes, car ces arêtes ne sont pas nécessairement perpendiculaires. Il faut alors prendre en compte les angles qu'elles forment entre elles.
La grande diagonale du parallélépipède, notée \( d \), est le segment qui relie deux sommets opposés.
Dans un parallélépipède rectangle, les quatre grandes diagonales ont toutes la même longueur.
Pour calculer la longueur d'une grande diagonale, on utilise les trois dimensions du solide :
\[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]
Cette longueur correspond à la plus grande distance entre deux sommets du parallélépipède rectangle.
Démonstration. Pour comprendre l'origine de cette formule, considérons la grande diagonale \( d \) du parallélépipède et la diagonale \( d_b \) de la base rectangulaire ABCD.
Commençons par appliquer le théorème de Pythagore au triangle rectangle \( ABD \), dont les deux côtés de l'angle droit sont deux côtés adjacents de la base. On obtient la longueur de la diagonale de la base \( d_b \) : \[ d_b^2 = a^2 + b^2 \] \[ d_b = \sqrt{a^2 + b^2} \] Appliquons ensuite une seconde fois le théorème de Pythagore au triangle rectangle \( DBD' \), dont les côtés de l'angle droit sont la diagonale de la base \( d_b \) et la hauteur \( c \) : \[ d^2 = d_b^2 + c^2 \] En remplaçant \( d_b^2 \) par \( a^2 + b^2 \), on obtient : \[ d^2 = (a^2 + b^2) + c^2 \] \[ \sqrt{d^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \] \[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \] On retrouve ainsi la formule de la grande diagonale d'un parallélépipède rectangle : \[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \] .
Observations et propriétés
Le parallélépipède possède plusieurs propriétés géométriques utiles à connaître :
- Les faces opposées d'un parallélépipède sont parallèles et isométriques
Deux faces opposées d'un parallélépipède, c'est-à-dire deux faces qui n'ont aucun sommet commun, sont parallèles et isométriques.
- Les quatre grandes diagonales d'un parallélépipède sont concourantes en un même point, qui est le milieu de chacune d'elles.
Démonstration. Dans ce parallélépipède, le quadrilatère $ ABC'D' $ est un parallélogramme, puisque ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Or, dans tout parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Les diagonales $ AC' $ et $ BD' $ se rencontrent donc en un point $ O $ tel que $ OA \cong OC' $ et $ OB \cong OD' $.
Considérons maintenant le quadrilatère $ BCD'A' $. Il s'agit lui aussi d'un parallélogramme, car ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Ses diagonales $ BD' $ et $ A'C $ se coupent donc également en leur milieu. Comme le segment $ BD' $ appartient aux deux parallélogrammes, son milieu est nécessairement le même point $ O $. On a ainsi $ OB \cong OD' $ et $ OA' \cong OC $.
En appliquant le même raisonnement aux autres grandes diagonales, on constate qu'elles passent toutes par le même point $ O $ et que ce point est le milieu de chacune d'elles. Les quatre grandes diagonales d'un parallélépipède se coupent donc en leur milieu. - Dans un parallélépipède rectangle, les quatre grandes diagonales ont la même longueur.
- Si deux parallélépipèdes rectangles ont des bases de même aire $ A_B $, leurs volumes sont directement proportionnels à leurs hauteurs : $$ \frac{V_1}{V_2} = \frac{A_B \cdot h_1}{A_B \cdot h_2} = \frac{h_1}{h_2} $$
Démonstration. Le volume $ V $ d'un parallélépipède rectangle est égal au produit de ses trois dimensions : $$ V = l \cdot w \cdot h $$ Comme l'aire de la base est $ A_B = l \cdot w $, on peut écrire : $$ V = A_B \cdot h $$ Si deux parallélépipèdes rectangles ont des bases de même aire et des volumes égaux, leurs hauteurs sont nécessairement égales : $$ V_1 = V_2 \quad \text{et} \quad A_{B_1} = A_{B_2} \quad \Rightarrow \quad h_1 = h_2 $$ Si, en revanche, leurs bases ont la même aire mais que leurs volumes sont différents, le rapport de leurs volumes est égal au rapport de leurs hauteurs : $$ \frac{V_1}{V_2} = \frac{A_B \cdot h_1}{A_B \cdot h_2} = \frac{h_1}{h_2} $$ Autrement dit, lorsque l'aire de la base reste constante, le volume d'un parallélépipède rectangle varie proportionnellement à sa hauteur.
Et ainsi de suite.
