Les dièdres

Un dièdre est une figure géométrique formée par deux demi-plans ayant pour frontière une même droite, appelée arête. Ces deux demi-plans constituent les faces du dièdre.

Cette notion est fondamentale en géométrie dans l'espace, car elle permet de décrire et de mesurer l'ouverture entre deux demi-plans.

Deux demi-plans ayant la même frontière partagent l'espace en deux régions distinctes. Chacune de ces régions constitue un dièdre.

Les deux faces d'un dièdre en constituent la frontière.

Les points du dièdre qui n'appartiennent à aucune de ses faces sont appelés points intérieurs.

L'angle dièdre mesure l'ouverture du dièdre. Pour déterminer cette mesure, on utilise un plan perpendiculaire à l'arête. Selon la valeur de l'angle obtenu, le dièdre peut notamment être convexe ou concave.

Lorsqu'un plan π est perpendiculaire à l'arête (r), l'intersection du dièdre avec ce plan est appelée section droite du dièdre.

Différence entre un dièdre et un polyèdre : un dièdre est une figure de l'espace formée par deux demi-plans ayant une même droite pour frontière. Un polyèdre, en revanche, est un solide délimité par des faces polygonales planes. Les segments communs à deux faces sont appelés arêtes, tandis que les points où se rencontrent plusieurs arêtes sont appelés sommets. Le cube, la pyramide et le prisme sont des exemples de polyèdres. En résumé, le dièdre est défini par deux demi-plans et par l'angle qu'ils forment, tandis qu'un polyèdre est un solide tridimensionnel constitué de plusieurs faces planes.

Sections d'un dièdre

Une section d'un dièdre est l'angle obtenu lorsqu'on coupe le dièdre par un plan qui rencontre son arête.

Cette construction est particulièrement utile : elle permet de ramener l'étude d'une figure de l'espace à celle d'un angle dans un plan.

Dans le plan, l'analogue d'un dièdre est donc tout simplement un angle.

On parle de section droite lorsque le plan sécant est perpendiculaire à l'arête du dièdre.

La mesure d'un angle dièdre est, par définition, celle de l'angle obtenu dans une section droite. Il suffit donc d'étudier cet angle plan pour connaître l'ouverture du dièdre.

La section droite permet notamment de distinguer un dièdre convexe d'un dièdre concave :

• Dièdre convexe
  Un dièdre est convexe lorsque l'angle de sa section droite est inférieur à 180°.
• Dièdre concave
  Un dièdre est concave lorsque l'angle de sa section droite est supérieur à 180°.

Remarque : lorsque la section droite mesure exactement 180°, elle forme un angle plat. Les deux faces sont alors deux demi-plans opposés appartenant à un même plan, et l'on parle de dièdre plat (180°). Lorsque les deux faces coïncident, on obtient deux cas dégénérés : le dièdre nul, d'ouverture 0°, et le dièdre plein, d'ouverture 360°.

Un dièdre convexe peut également être classé selon la mesure de sa section droite. Il peut ainsi être droit (90°), aigu (<90°) ou obtus (>90° et <180°).

• Dièdre droit
  Un dièdre droit possède une section droite de 90°. Son ouverture est donc égale à la moitié de celle d'un dièdre plat.
• Dièdre aigu
  Un dièdre dont la section droite mesure moins de 90° est appelé dièdre aigu.
• Dièdre obtus
  Un dièdre dont la section droite mesure plus de 90° et moins de 180° est appelé dièdre obtus.
  

On peut également comparer deux dièdres en additionnant les mesures de leurs angles. Ils peuvent alors être complémentaires, supplémentaires ou explementaires.

• Dièdres complémentaires
  Deux dièdres sont complémentaires lorsque la somme de leurs angles dièdres est égale à 90°.
• Dièdres supplémentaires
  Deux dièdres sont supplémentaires lorsque la somme de leurs angles dièdres est égale à 180°.
• Dièdres explementaires
  Deux dièdres sont explementaires lorsque la somme de leurs angles dièdres est égale à 360°.

Exemple : les dièdres α et β sont supplémentaires, car la somme de leurs angles dièdres est égale à 180°.

Congruence des dièdres

Deux dièdres sont congruents lorsque leurs sections droites sont congruentes.

Autrement dit, deux dièdres sont congruents si l'on peut faire coïncider l'un avec l'autre par une isométrie de l'espace.

Ils possèdent donc des angles dièdres de même mesure.

Exemple : les dièdres α et β sont congruents, car leurs sections droites mesurent toutes deux 90°.

Dièdres opposés par l'arête

Deux dièdres sont dits opposés par l'arête lorsqu'ils ont la même arête et que les faces de l'un prolongent celles de l'autre.

Dans la figure suivante, par exemple, les dièdres α et α' sont opposés par l'arête.

Deux dièdres opposés par l'arête sont toujours congruents.

Cette propriété est l'analogue, dans l'espace, de celle des angles opposés par le sommet en géométrie plane.

Dièdres consécutifs et adjacents

Selon leur disposition dans l'espace, deux dièdres peuvent être consécutifs ou adjacents :

• Dièdres consécutifs
  Deux dièdres sont consécutifs lorsqu'ils ont la même arête et une face commune.
• Dièdres adjacents
  Deux dièdres sont adjacents lorsqu'ils sont consécutifs et que leurs faces non communes sont deux demi-plans opposés.

  Remarque : deux dièdres adjacents sont également supplémentaires, puisque la somme de leurs angles dièdres est égale à 180°. Par exemple, les dièdres α et β sont consécutifs parce qu'ils ont la même arête et une face commune. Ils sont également adjacents parce que leurs deux autres faces sont des demi-plans opposés.
  
  De même, les couples α et β', α' et β', ainsi que α' et β, sont adjacents pour les mêmes raisons. En revanche, les dièdres α et α' ne sont pas consécutifs.

Remarques complémentaires

Voici quelques propriétés utiles à retenir sur les angles dièdres :

• Deux plans sécants déterminent quatre dièdres, répartis en deux paires de dièdres opposés par l'arête.
• Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'ils déterminent quatre dièdres droits
  Comme les dièdres opposés par l'arête sont congruents et que deux dièdres adjacents sont supplémentaires, il suffit que l'un des quatre dièdres soit droit pour que les trois autres le soient également.
  
• Deux demi-plans ayant la même arête partagent l'espace en deux dièdres explementaires, puisque la somme de leurs angles dièdres est égale à 360°. Si aucun des deux n'est plat, l'un possède un angle inférieur à 180° et est donc convexe, tandis que l'autre possède un angle supérieur à 180° et est donc concave.
  
• Les sections parallèles d'un dièdre sont congruentes
  Les sections parallèles π et π' d'un même dièdre δ déterminent des angles congruents : α ≅ α'.
  
• La réunion de deux dièdres consécutifs situés de part et d'autre de leur face commune forme un nouveau dièdre ayant la même arête et pour faces les deux faces non communes des dièdres initiaux.

Ces propriétés permettent de ramener de nombreux problèmes de géométrie dans l'espace à l'étude d'angles dans un plan.