Principe de Cavalieri

Deux solides ont le même volume si, pour tout plan parallèle à un plan donné, les sections obtenues dans chacun des deux solides ont la même aire.

Le principe de Cavalieri offre une manière particulièrement intuitive de comparer le volume de deux solides. Au lieu de calculer directement leur volume, on les examine section par section. Cette méthode est très utile lorsque les solides ont des formes différentes ou lorsque leur volume est difficile à déterminer à l'aide des formules usuelles.

Si je parviens à montrer qu'à chaque niveau, la section transversale d'un solide a la même aire que la section correspondante de l'autre, je peux en conclure qu'il s'agit de solides de même volume, même si leurs formes générales sont très différentes.

Les deux solides n'ont donc pas besoin d'être congruents ni de présenter une symétrie particulière. Ce qui compte, c'est l'aire de leurs sections correspondantes.

Exemple. Imaginons deux piles constituées du même nombre de feuilles rectangulaires de dimensions identiques. Si toutes les feuilles sont parfaitement superposées, les deux piles sont congruentes : elles ont le même volume, la même forme et la même hauteur. Supposons maintenant que l'on décale latéralement les feuilles de l'une des piles afin de lui donner une forme inclinée. Son volume reste inchangé. Le nombre de feuilles et leur épaisseur n'ayant pas varié, la hauteur totale et le volume de la pile demeurent les mêmes.

Cette idée, simple mais féconde, est associée au mathématicien italien Bonaventura Cavalieri, qui développa au XVIIe siècle sa célèbre méthode des indivisibles. Dans sa formulation moderne, elle est connue sous le nom de principe de Cavalieri.

Une limite du principe de Cavalieri

Le principe de Cavalieri fournit une condition suffisante, mais non nécessaire pour que deux solides aient le même volume.

Autrement dit, si les sections correspondantes des deux solides ont la même aire pour tout plan parallèle au plan choisi, alors les deux solides ont nécessairement le même volume.

En revanche, la réciproque n'est pas vraie en général. Deux solides peuvent avoir le même volume sans que leurs sections correspondantes aient la même aire à chaque niveau.

Exemple. Deux solides peuvent avoir le même volume tout en présentant, à une même hauteur, des sections transversales d'aires différentes. L'égalité de leurs volumes ne suffit donc pas à garantir l'égalité des aires de toutes leurs sections correspondantes. Ainsi, les deux solides représentés ci-dessous ont le même volume, mais ne vérifient pas les hypothèses du principe de Cavalieri dans la disposition considérée.

Cette situation met en évidence une caractéristique essentielle du principe : il ne fournit pas une caractérisation complète de l'égalité des volumes. Il constitue en revanche un critère particulièrement efficace pour démontrer que deux solides ont le même volume lorsque l'on peut établir l'égalité des aires de leurs sections correspondantes.

Le grand intérêt de cette méthode est de transformer un problème tridimensionnel en une série de problèmes bidimensionnels. Au lieu de comparer directement des volumes, on compare les aires des sections obtenues à chaque niveau.

On peut donc se représenter intuitivement le principe comme une comparaison tranche par tranche : si deux solides présentent, à chaque niveau, des sections de même aire, l'ensemble de ces sections conduit au même volume.

Remarque. Dans le contexte historique de Cavalieri, cette approche constituait une avancée majeure. Au XVIIe siècle, le calcul intégral n'existait pas encore sous sa forme moderne. Cavalieri développa une méthode fondée sur les « indivisibles », qui joua un rôle important dans l'histoire des méthodes infinitésimales. Aujourd'hui, le principe de Cavalieri peut être formulé et justifié rigoureusement dans le cadre du calcul intégral et, plus généralement, de la théorie de la mesure.

Le principe de Cavalieri et le calcul intégral

Le principe de Cavalieri peut être considéré comme un précurseur géométrique de certaines idées fondamentales du calcul intégral. La relation apparaît clairement lorsque l'on décrit mathématiquement les sections d'un solide.

Dans un cadre moderne, si l'on note \(A_1(z)\) et \(A_2(z)\) les aires des sections de deux solides à la hauteur \(z\), leurs volumes peuvent s'écrire, sous des hypothèses appropriées,

\[ V_1=\int_a^b A_1(z)\,dz \]

et

\[ V_2=\int_a^b A_2(z)\,dz. \]

Si les sections ont la même aire à chaque hauteur, c'est-à-dire si

\[ A_1(z)=A_2(z) \]

pour tout \(z\) compris entre \(a\) et \(b\), alors

\[ V_1=\int_a^b A_1(z)\,dz =\int_a^b A_2(z)\,dz =V_2. \]

Cette formulation permet de comprendre pourquoi le principe fonctionne : le volume peut être obtenu en intégrant l'aire des sections sur toute la hauteur du solide. Si les aires sont identiques à chaque niveau, leurs intégrales sont nécessairement égales.

La méthode des indivisibles de Cavalieri constitue ainsi l'un des antécédents historiques des méthodes qui conduiront au développement du calcul intégral.

La version bidimensionnelle

Le principe de Cavalieri possède également un analogue dans le plan. Cette fois, on ne compare plus des volumes à partir d'aires, mais des aires à partir de longueurs.

Deux figures planes comprises entre deux droites parallèles ont la même aire si, pour toute droite parallèle à celles-ci, les intersections de cette droite avec les deux figures ont la même longueur.

Dans le langage moderne du calcul intégral, cela revient à comparer les longueurs des sections unidimensionnelles des deux figures, puis à les intégrer dans la direction considérée.

On retrouve donc la même idée fondamentale : comparer des objets géométriques en les décomposant en sections de dimension inférieure.

Sous des hypothèses appropriées, ce raisonnement peut également être généralisé à des espaces de dimension supérieure.