Polyèdres
Un polyèdre est un solide de l'espace délimité par des faces planes polygonales qui se rejoignent le long d'arêtes et en des sommets.
Les faces d'un polyèdre sont des polygones, par exemple des triangles, des carrés ou des pentagones, situés dans des plans différents. Deux faces distinctes peuvent avoir une arête ou un sommet en commun, mais leurs intérieurs ne se coupent pas. Un polyèdre possède au moins quatre faces. Le plus simple est le tétraèdre, qui en compte quatre. Un pentaèdre en possède cinq, un hexaèdre six, un octaèdre huit, et ainsi de suite.
Les arêtes sont les segments de droite communs à deux faces du polyèdre. Elles correspondent aux côtés des polygones qui constituent ces faces.
À chaque arête est associé un angle dièdre. Il s'agit de l'angle formé par les deux demi-plans correspondant aux faces adjacentes qui se rencontrent le long de cette arête.
Les sommets sont les points de rencontre de plusieurs arêtes et de plusieurs faces. Dans un polyèdre, au moins trois arêtes convergent en chaque sommet.
À chaque sommet est associé un angle solide, délimité par les faces et les arêtes qui convergent en ce point.
Les polyèdres fascinent depuis des millénaires les mathématiciens, mais aussi les artistes et les philosophes. Platon s'est notamment intéressé aux polyèdres réguliers, aujourd'hui connus sous le nom de “solides de Platon”. Leur intérêt dépasse largement le cadre des mathématiques. On retrouve en effet des géométries polyédriques dans de nombreux domaines scientifiques et techniques. En chimie, par exemple, certaines structures moléculaires présentent une organisation polyédrique. Les formes polyédriques occupent également une place importante en architecture et dans les arts.
Dans un polyèdre, une diagonale est un segment reliant deux sommets qui n'appartiennent pas à une même face. Elle traverse donc l'intérieur du polyèdre et se distingue des diagonales situées sur ses faces.
L'aire totale d'un polyèdre est obtenue en additionnant les aires de toutes ses faces.
Polyèdres réguliers et irréguliers
On distingue notamment deux grandes catégories : les polyèdres réguliers et les polyèdres irréguliers.
- Polyèdres réguliers (ou solides de Platon)
Un polyèdre régulier convexe possède des faces qui sont toutes des polygones réguliers congruents. De plus, le même nombre de faces se rencontre à chaque sommet, si bien que tous les sommets présentent la même configuration. Les angles dièdres correspondants ont eux aussi la même mesure. Ces polyèdres sont appelés solides de Platon.Remarque : Dans le plan, il existe un polygone régulier pour tout nombre entier de côtés supérieur ou égal à trois. Dans l'espace tridimensionnel, la situation est très différente : il n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes. Ce sont le tétraèdre, l'hexaèdre, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre.
- Polyèdres irréguliers
Un polyèdre est dit irrégulier lorsqu'il ne satisfait pas aux conditions qui définissent un polyèdre régulier. Ses faces ne sont donc pas nécessairement toutes des polygones réguliers congruents, et ses sommets ne présentent pas nécessairement la même configuration. Un prisme constitue, par exemple, un cas courant de polyèdre non régulier, puisque ses bases et ses faces latérales ne sont généralement pas toutes congruentes entre elles.
Formule d'Euler
L'une des propriétés les plus importantes des polyèdres est exprimée par la formule d'Euler. Elle établit une relation remarquable entre le nombre de sommets (V), d'arêtes (E) et de faces (F) d'un polyèdre convexe. Plus généralement, elle s'applique aux polyèdres dont la surface est topologiquement équivalente à une sphère, autrement dit aux polyèdres sans trou.
Pour un tel polyèdre, le nombre de sommets (V), diminué du nombre d'arêtes (E), puis augmenté du nombre de faces (F), est toujours égal à 2. $$ V - E + F = 2 $$
Prenons l'exemple d'un cube. Il possède 6 faces carrées, 8 sommets et 12 arêtes.
$$ F = 6 $$
$$ V = 8 $$
$$ E = 12 $$
En remplaçant ces valeurs dans la formule d'Euler, on obtient :
$$ V - E + F = 2 $$
$$ 8 - 12 + 6 = 2 $$
$$ 2 = 2 $$
L'égalité est donc bien vérifiée.
À quoi sert-elle ? La formule d'Euler permet notamment de vérifier si une combinaison donnée de sommets, d'arêtes et de faces est compatible avec un polyèdre convexe ou, plus généralement, avec un polyèdre dont la surface est topologiquement équivalente à une sphère. Si l'égalité n'est pas satisfaite, la combinaison considérée ne peut pas correspondre à un polyèdre de ce type. La formule d'Euler joue également un rôle fondamental dans l'étude combinatoire des polyèdres. Elle intervient notamment dans la démonstration du fait qu'il n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes, les solides de Platon.
Solides de Platon
Les solides de Platon sont les cinq polyèdres réguliers convexes. Ils se distinguent par la parfaite régularité de leurs faces et par une même configuration autour de chacun de leurs sommets.
- Tétraèdre
Le tétraèdre possède 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes. Chacune de ses faces est un triangle équilatéral. - Hexaèdre
L'hexaèdre régulier, plus couramment appelé “cube”, possède 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes. Chacune de ses faces est un carré. - Octaèdre
L'octaèdre possède 8 faces, 6 sommets et 12 arêtes. Chacune de ses faces est un triangle équilatéral. - Dodécaèdre
Le dodécaèdre possède 12 faces, 20 sommets et 30 arêtes. Chacune de ses faces est un pentagone régulier. - Icosaèdre
L'icosaèdre possède 20 faces, 12 sommets et 30 arêtes. Chacune de ses faces est un triangle équilatéral.
Démonstration
On peut démontrer qu'il n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes. L'idée repose sur une condition géométrique simple mais essentielle : en chaque sommet, la somme des angles plans des faces qui s'y rencontrent doit être strictement inférieure à 360°.
Commençons par le cas où les faces sont des triangles équilatéraux congruents.
Chaque angle intérieur d'un triangle équilatéral mesure 60°. Au maximum, cinq triangles peuvent donc se rencontrer en un même sommet, car la somme de leurs angles doit rester inférieure à 360°. Avec six triangles, on aurait \(6 \times 60° = 360°\). Les faces se disposeraient alors à plat autour du sommet et ne pourraient plus former un véritable angle solide.
| Polygone régulier | Nombre de faces en un sommet | Somme des angles au sommet | Polyèdre |
|---|---|---|---|
| triangles équilatéraux (angles de 60°) |
3 | 180° < 360° | tétraèdre |
| 4 | 240° < 360° | octaèdre | |
| 5 | 300° < 360° | icosaèdre | |
| 6 | 360° = 360° | impossible |
Passons maintenant aux polyèdres dont les faces sont des carrés.
Chaque angle intérieur d'un carré mesure 90°. Trois carrés peuvent donc se rencontrer en un sommet, puisque \(3 \times 90^\circ = 270^\circ\). Avec quatre carrés, en revanche, on obtient exactement 360°. Les faces se disposeraient alors dans un même plan et ne pourraient pas former un angle solide : \(4 \times 90^\circ = 360^\circ\).
| Polygone régulier | Nombre de faces en un sommet | Somme des angles au sommet | Polyèdre |
|---|---|---|---|
| carrés (angles de 90°) |
3 | 270° < 360° | cube |
| 4 | 360° = 360° | impossible |
Considérons ensuite les polyèdres dont les faces sont des pentagones réguliers.
Chaque angle intérieur d'un pentagone régulier mesure 108°. Trois pentagones peuvent donc se rencontrer en un même sommet, car \(3 \times 108^\circ = 324^\circ\). Avec quatre pentagones, la somme atteindrait \(4 \times 108^\circ = 432^\circ\), ce qui dépasse 360° et rend la configuration impossible.
| Polygone régulier | Nombre de faces en un sommet | Somme des angles au sommet | Polyèdre |
|---|---|---|---|
| pentagones réguliers (angles de 108°) |
3 | 324° < 360° | dodécaèdre |
| 4 | 432° > 360° | impossible |
Voyons enfin le cas des hexagones réguliers.
Chaque angle intérieur d'un hexagone régulier mesure 120°. Or, au moins trois faces doivent se rencontrer en chaque sommet d'un polyèdre. Avec trois hexagones, la somme atteint déjà \(3 \times 120^\circ = 360^\circ\). Les faces se retrouveraient donc à plat autour du sommet, ce qui empêche la formation d'un angle solide et donc d'un polyèdre régulier convexe.
| Polygone régulier | Nombre de faces en un sommet | Somme des angles au sommet | Polyèdre |
|---|---|---|---|
| hexagones réguliers (angles de 120°) |
3 | 360° = 360° | impossible |
Il n'est pas nécessaire d'aller plus loin. Pour les polygones réguliers comportant plus de six côtés, chaque angle intérieur est supérieur à 120°. Comme au moins trois faces doivent se rencontrer en un sommet, la somme des angles dépasserait nécessairement 360°.
On en conclut qu'il n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre.
Angles dièdres d'un polyèdre
À chaque arête d'un polyèdre est associé un angle dièdre. Il est déterminé par les deux faces adjacentes qui se rencontrent le long de cette arête.
Dans un cube, par exemple, chaque arête est commune à deux faces carrées situées dans deux plans distincts.
L'angle formé par ces deux faces le long de leur arête commune est un angle dièdre du polyèdre.
Patron d'un polyèdre
L'aire totale d'un polyèdre correspond à la somme des aires de toutes ses faces.
Pour étudier plus facilement sa surface, on utilise souvent son patron, c'est-à-dire une représentation plane obtenue en dépliant ses faces.
Le patron d'un polyèdre est une figure plane constituée de toutes ses faces, disposées de manière à pouvoir reconstituer le solide par pliage.
Grâce au patron, toutes les faces du polyèdre peuvent être observées dans un même plan, sans chevauchement. Leurs dimensions sont conservées, tout comme les relations d'adjacence nécessaires pour reconstruire le solide.
Cette représentation est particulièrement utile pour comprendre la structure du polyèdre et pour calculer son aire totale.
Exemple
Un patron du cube peut prendre la forme d'une croix constituée de 6 carrés, chacun correspondant à l'une de ses faces.
Dans le patron, certains côtés communs à deux carrés correspondent directement aux arêtes du cube. Les côtés libres qui viennent se rejoindre lors du pliage forment eux aussi des arêtes du solide.
Ce patron n'est qu'un exemple parmi plusieurs dispositions possibles pour un cube.
Dans le cas d'un parallélépipède rectangle, le patron est formé de rectangles, qui ne sont pas nécessairement des carrés.
Dans cet exemple, les rectangles placés au centre correspondent aux faces latérales du parallélépipède rectangle, tandis que les deux autres rectangles représentent ses bases.
Le même principe permet de construire le patron de nombreux autres polyèdres et d'en représenter toute la surface dans un plan.
