Équations de surfaces dans l'espace

En géométrie analytique, une surface peut être définie comme l'ensemble des points dont les coordonnées cartésiennes $x, y, z$ vérifient une équation de la forme : $$ F(x, y, z) = 0 $$ Cette équation permet de déterminer avec précision quels points appartiennent à la surface.

Pour savoir si un point donné se trouve sur la surface, il suffit de remplacer $x, y, z$ par ses coordonnées dans l'équation $F(x, y, z) = 0$, puis de vérifier si l'égalité est satisfaite.

Mais une équation de surface ne sert pas uniquement à tester l'appartenance d'un point. Sa forme fournit également de précieuses informations sur la géométrie de la surface.

Selon la surface étudiée, l'équation peut être très simple ou, au contraire, beaucoup plus complexe. Elle permet notamment de distinguer les plans, les quadriques et, plus généralement, les surfaces définies implicitement.

Surfaces algébriques

Lorsque la fonction $F(x, y, z)$ est un polynôme, on parle de surface algébrique.

Une telle surface est dite de degré $n$ lorsque le polynôme qui la définit est de degré $n$.

Les surfaces algébriques de degré 1 sont les plans. Leur équation est linéaire et s'écrit sous la forme :

$$ ax + by + cz + d = 0 $$

où $a, b, c, d$ sont des constantes réelles, $a$, $b$ et $c$ n'étant pas simultanément nuls.

Par exemple, considérons le plan d'équation : $$ 2x - 3y + z + 5 = 0 $$ Il s'agit d'une équation cartésienne d'un plan dans l'espace tridimensionnel.

Pour déterminer si un point appartient à ce plan, il suffit de remplacer $x$, $y$ et $z$ par les coordonnées du point. Le point $(1, -1, 0)$ appartient-il au plan ? Vérifions-le : $$2 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) + 0 + 5 = 2 + 3 + 5 = 10 \neq 0$$ Le résultat n'étant pas nul, le point n'appartient pas au plan.

Lorsque l'on passe au degré 2, les surfaces obtenues sont appelées quadriques. Leur géométrie est beaucoup plus variée.

Quadriques

Les quadriques sont des surfaces définies par une équation polynomiale du second degré. Dans un repère cartésien, leur équation générale s'écrit :

$$ ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + l = 0 $$

Selon les valeurs des coefficients et après un éventuel changement de repère, cette équation peut représenter plusieurs types de surfaces :

• les ellipsoïdes
• les hyperboloïdes
• les paraboloïdes
• les cônes
• les cylindres

Chacune de ces surfaces possède une forme géométrique caractéristique que l'on peut reconnaître à partir de son équation réduite.

Ellipsoïde

Un ellipsoïde est une quadrique fermée qui généralise la sphère. Dans un repère adapté, on peut se le représenter comme une sphère étirée ou comprimée suivant les trois axes de coordonnées.

Son équation réduite est :

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 $$

Les paramètres $a$, $b$ et $c$ déterminent les longueurs des trois demi-axes. Lorsque $a = b = c$, les trois demi-axes ont la même longueur et l'ellipsoïde devient une sphère.

Par exemple, l'équation :

$$ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{1} = 1 $$

décrit un ellipsoïde dont les demi-axes ont pour longueurs $a = 3$, $b = 2$ et $c = 1$.

Hyperboloïde

Un hyperboloïde est une quadrique non bornée. Selon la forme de son équation, il peut être constitué d'une seule nappe connexe ou de deux nappes disjointes.

L'équation réduite d'un hyperboloïde à une nappe est :

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 $$

L'équation réduite d'un hyperboloïde à deux nappes est :

$$ - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 $$

La différence essentielle apparaît immédiatement dans leur géométrie : le premier forme une surface continue, tandis que le second se compose de deux parties séparées.

Voici un exemple concret d'hyperboloïde à une nappe : $$ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} - \frac{z^2}{16} = 1 $$ Cette surface présente une section centrale de dimensions minimales, puis s'élargit progressivement à mesure que $|z|$ augmente.

Paraboloïde

Les paraboloïdes sont des quadriques non bornées dont certaines sections planes sont des paraboles. On distingue principalement deux formes : le paraboloïde elliptique et le paraboloïde hyperbolique.

L'équation réduite d'un paraboloïde elliptique peut s'écrire :

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z $$

Ses sections par des plans parallèles au plan $xy$, pour des valeurs positives de $z$, sont des ellipses.

L'équation réduite d'un paraboloïde hyperbolique peut s'écrire :

$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z $$

Le paraboloïde hyperbolique présente une forme caractéristique en selle, très différente de celle du paraboloïde elliptique.

Par exemple, l'équation : $$ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 2z $$ définit un paraboloïde elliptique.

Cône

Un cône quadrique dont le sommet est situé à l'origine s'étend indéfiniment de part et d'autre de son sommet suivant son axe.

Une équation réduite typique est :

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 $$

À la différence de l'hyperboloïde à une nappe, le membre de droite est ici nul. La surface se resserre donc jusqu'à un unique point, le sommet du cône.

Par exemple, l'équation suivante définit un cône : $$ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} - \frac{z^2}{16} = 0 $$

Cylindre

En géométrie analytique, le terme cylindre désigne une famille de surfaces plus générale que le cylindre circulaire habituel. Une surface cylindrique peut être engendrée par une famille de droites parallèles, appelées génératrices, passant par les différents points d'une courbe appelée directrice.

Un moyen simple de reconnaître une surface cylindrique consiste à observer les variables présentes dans son équation. Lorsque celle-ci ne fait intervenir que deux variables, la troisième est libre.

Par exemple, l'équation $x^2 - y - 1 = 0$ ne dépend pas de $z$. Dans le plan Oxy, elle définit une courbe qui peut servir de directrice à la surface cylindrique.

Comme $z$ est libre, chaque point de cette courbe se prolonge suivant une droite parallèle à l'axe $z$. L'ensemble de ces droites forme la surface cylindrique.

La nature de la directrice permet de distinguer plusieurs types de cylindres :

• si la directrice est une parabole, le cylindre est parabolique
• si la directrice est une ellipse, le cylindre est elliptique
• si la directrice est un cercle, le cylindre est circulaire
• si la directrice est une hyperbole, le cylindre est hyperbolique

Cylindre circulaire

Une équation générale d'un cylindre circulaire d'axe parallèle à l'axe $z$ peut s'écrire :

$$ x^2 + y^2 + a x + b y + c = 0 $$

La variable $z$ n'apparaît pas dans l'équation. La surface s'étend donc indéfiniment dans une direction parallèle à l'axe $z$.

Cette équation représente un cylindre circulaire réel à condition que :

$$ \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - c \ge 0 $$

Pour comprendre l'origine de cette condition, il suffit de compléter les carrés :

$$ \left(x+\frac{a}{2}\right)^2+\left(y+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c $$

Le membre de droite correspond au carré du rayon de la directrice circulaire. Il doit donc être positif ou nul pour que l'équation admette des points réels.

Le même principe s'applique lorsque l'équation dépend de $x$ et $z$, ou de $y$ et $z$. Les génératrices sont alors parallèles à l'axe associé à la variable absente.

Exemple. Considérons le cylindre circulaire d'équation : $$ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 1 $$ On peut également écrire : $$x^2+y^2=4$$ Il s'agit d'un cylindre circulaire de rayon $2$, dont l'axe est l'axe $z$.

Cylindre elliptique

L'équation réduite d'un cylindre elliptique d'axe parallèle à l'axe $z$ est :

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

Dans chaque plan perpendiculaire à l'axe $z$, la section est la même ellipse. Lorsque $a = b$, cette ellipse devient un cercle et le cylindre elliptique devient un cylindre circulaire.

Exemple. Considérons le cylindre d'équation : $$ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 $$ Sa directrice dans le plan $xy$ est une ellipse de demi-axes $2$ et $3$, tandis que ses génératrices sont parallèles à l'axe $z$.

Cylindre hyperbolique

L'équation réduite d'un cylindre hyperbolique d'axe parallèle à l'axe $z$ est :

$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

L'équation est indépendante de $z$. La directrice est donc une hyperbole du plan $xy$, prolongée suivant des génératrices parallèles à l'axe $z$.

Exemple. Considérons le cylindre hyperbolique d'équation : $$ \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{4} = 3 $$ Comme $z$ n'apparaît pas dans l'équation, la directrice est une hyperbole du plan $xy$ et les génératrices sont parallèles à l'axe $z$.

Cylindre parabolique

L'équation d'un cylindre parabolique d'axe parallèle à l'axe $z$ peut prendre la forme :

$$ y = k x^2 $$

La variable $z$ étant absente de l'équation, elle peut prendre n'importe quelle valeur réelle. La parabole du plan $xy$ se prolonge ainsi suivant des droites parallèles à l'axe $z$, formant une surface cylindrique parabolique.

Exemple. Considérons la directrice : $$ y = x^2. $$ La surface correspondante est définie par : $$ y = x^2, \quad z \in \mathbb{R} $$

Cette équation peut également s'écrire sous forme implicite : $$ y - x^2 = 0 $$ De même, l'équation $$ x - y^2 = 0 $$ définit un autre cylindre parabolique dont les génératrices sont parallèles à l'axe $z$. Si l'équation fait intervenir $x$ et $z$, par exemple : $$ z = x^2 $$ la variable $y$ est libre. On obtient alors un cylindre parabolique dont les génératrices sont parallèles à l'axe $y$.

Si l'équation fait intervenir $y$ et $z$, par exemple : $$ z = y^2 $$ la variable $x$ est libre. On obtient donc un cylindre parabolique dont les génératrices sont parallèles à l'axe $x$.

Ces exemples montrent que la forme d'une équation permet de comprendre directement une grande partie de la géométrie de la surface qu'elle représente. En observant les termes présents, leurs signes et les variables qui interviennent, on peut reconnaître les principales quadriques, identifier leurs axes et leurs sections caractéristiques, et comprendre leur disposition dans l'espace tridimensionnel.  

Sections planes d'une surface

Pour mieux comprendre la géométrie d'une surface, il est souvent utile d'étudier les courbes obtenues lorsqu'on la coupe par un plan. Pour cela, on peut fixer la valeur de l'une des coordonnées, par exemple $z$ ou $y$, puis examiner l'équation obtenue.

Considérons, par exemple, l'ellipsoïde :

$$ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{1} = 1 $$

Coupons cette surface par le plan $z = 0$. En remplaçant $z$ par $0$ dans l'équation de l'ellipsoïde, on obtient :

$$ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 $$

Cette équation est celle d'une ellipse située dans le plan $xy$. Elle représente donc la section plane de l'ellipsoïde par le plan $z = 0$.

Cette méthode permet d'étudier une surface tridimensionnelle à partir de courbes plus simples. En choisissant différents plans de coupe, on peut ainsi observer comment la forme des sections évolue à l'intérieur de la surface.

Courbe définie par l'intersection de deux surfaces

Dans l'espace tridimensionnel, une courbe peut également apparaître comme l'intersection de deux surfaces. Elle est alors constituée des points appartenant simultanément aux deux surfaces :

$$ \begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases} $$

Autrement dit, les coordonnées $(x, y, z)$ des points de la courbe doivent vérifier les deux équations en même temps.

La courbe est donc définie analytiquement par le système :

$$
\begin{cases}
F(x, y, z) = 0 \\
G(x, y, z) = 0
\end{cases}
$$

On parle de représentation implicite de la courbe, car les coordonnées $x$, $y$ et $z$ ne sont pas directement exprimées en fonction d'un paramètre.

Exemple

Considérons les deux surfaces définies par le système suivant :

$$
\begin{cases}
x^{2} - y + z - 1 = 0 \\
x^{2} + 2y + z - 1 = 0
\end{cases}
$$

Leur intersection est constituée de tous les points qui vérifient simultanément ces deux équations. L'objectif est maintenant de déterminer plus explicitement la forme de cette courbe.

Pour faciliter l'étude et la représentation graphique de la courbe, il est souvent pratique d'en rechercher une représentation paramétrique.

Introduisons un paramètre $t$ et posons :

$$ x = t $$

Commençons par déterminer $y$. Comme les deux équations sont satisfaites simultanément, on peut écrire :

$$ x^{2} - y + z - 1 = x^{2} + 2y + z - 1 $$

En regroupant tous les termes dans un même membre, on obtient :

$$ x^{2} - y + z - 1 - \bigl(x^{2} + 2y + z - 1\bigr) = 0 $$

Les termes en $x^2$, en $z$ et les constantes s'éliminent, ce qui donne :

$$ -3y = 0 $$

On en déduit immédiatement :

$$ y = 0 $$

Il reste maintenant à déterminer $z$. Remplaçons $x$ par $t$ et $y$ par $0$ dans l'une des deux équations initiales :

$$ x^{2} + 2y + z - 1 = 0 $$

$$ t^2 + 2 \cdot 0 + z - 1 = 0 $$

On obtient alors :

$$ z = 1 - t^2 $$

La courbe d'intersection admet donc la représentation paramétrique suivante :

$$
\begin{cases}
x = t \\
y = 0 \\
z = 1 - t^{2}
\end{cases}
$$

Cette écriture permet de comprendre immédiatement la géométrie de la courbe : elle se trouve entièrement dans le plan $y = 0$ et sa coordonnée $z$ varie selon la relation $z = 1 - x^2$. Il s'agit donc d'une parabole située dans le plan $xz$.

La représentation paramétrique permet également de tracer facilement cette courbe dans GeoGebra à l'aide de la commande Curve :

Curve(t, 0, 1 - t^2, t, -5, 5)

La même démarche peut être appliquée à de nombreuses autres intersections de surfaces : on part du système d'équations, on recherche les relations entre les coordonnées, puis, lorsque cela est possible, on introduit un paramètre afin d'obtenir une représentation plus simple de la courbe.