Paraboloïde
Un paraboloïde est une surface quadrique de l'espace tridimensionnel dont certaines sections planes sont des paraboles.
On distingue principalement deux types de paraboloïdes : le paraboloïde elliptique et le paraboloïde hyperbolique. Tous deux appartiennent à la famille des quadriques, mais leur forme et leurs propriétés géométriques sont très différentes.
- Paraboloïde elliptique
Le paraboloïde elliptique est une surface en forme de coupe ou de bol. Lorsqu'on le coupe par un plan horizontal, on obtient, pour des valeurs appropriées de \(z\), une ellipse. En revanche, les sections réalisées par des plans verticaux contenant l'axe du paraboloïde sont des paraboles. Une équation canonique du paraboloïde elliptique est : $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z}{c} $$ où \(a\) et \(b\) déterminent l'échelle de la surface suivant les directions \(x\) et \(y\), tandis que \(c\) intervient dans son ouverture suivant l'axe \(z\). À une hauteur \(z\) donnée, les dimensions de l'ellipse obtenue dépendent donc également de la valeur de \(z\).
Le terme « elliptique » vient précisément de la forme de ces sections horizontales. L'intersection du paraboloïde avec un plan \(z = z_0\), lorsqu'elle existe et n'est pas dégénérée, est une ellipse.
Lorsque la surface possède une symétrie de révolution autour de son axe, on obtient un cas particulier appelé paraboloïde de révolution. Selon une convention couramment utilisée, son équation peut s'écrire : $$ x^2 + y^2 = 2pz $$ où \(p\) est un paramètre qui détermine l'ouverture de la parabole génératrice.
L'antenne parabolique est l'une des applications les plus connues du paraboloïde de révolution. Sa géométrie lui permet de concentrer en son foyer les rayons incidents parallèles à son axe. Réciproquement, une source placée au foyer produit, après réflexion sur la surface, un faisceau de rayons parallèles à l'axe. Cette propriété est essentielle dans la conception des antennes paraboliques, des réflecteurs et de nombreux télescopes.
- Paraboloïde hyperbolique
Le paraboloïde hyperbolique présente une géométrie très différente. Sa forme caractéristique rappelle celle d'une selle. Contrairement au paraboloïde elliptique de révolution, il ne s'obtient pas en faisant tourner une parabole autour de son axe. Ses sections par des plans horizontaux \(z = z_0\), lorsque \(z_0 \neq 0\), sont des hyperboles, tandis que certaines sections verticales sont des paraboles. Une équation canonique du paraboloïde hyperbolique est : $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \frac{z}{c} $$ où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des paramètres qui déterminent l'échelle et l'ouverture de la surface suivant les différentes directions.
Le qualificatif « hyperbolique » vient de la forme de ses sections horizontales. Lorsque \(z = z_0\) avec \(z_0 \neq 0\), l'intersection avec le plan horizontal est une hyperbole. Pour \(z = 0\), la section devient dégénérée et se réduit à deux droites sécantes.
Le paraboloïde hyperbolique est notamment utilisé en architecture et en ingénierie des structures. Sa forme en selle permet de concevoir des couvertures minces et rigides tout en créant des formes architecturales originales. Il possède également une propriété géométrique remarquable : c'est une surface doublement réglée. Autrement dit, malgré son aspect courbe, elle contient deux familles distinctes de droites, ce qui facilite notamment la réalisation de certaines structures à partir d'éléments rectilignes.
Le paraboloïde elliptique et le paraboloïde hyperbolique ont donc en commun la présence de sections paraboliques obtenues par certains plans verticaux. C'est cette propriété qui explique leur appartenance à la même famille de surfaces.
En résumé, ces deux paraboloïdes sont des surfaces quadriques, mais leur géométrie est nettement différente. Le paraboloïde elliptique possède une forme de coupe et présente notamment des sections elliptiques. Le paraboloïde hyperbolique, quant à lui, possède une forme de selle et présente notamment des sections hyperboliques.
Et ainsi de suite.
