Sphère et boule

En géométrie euclidienne, une sphère est la surface formée par l'ensemble des points de l'espace situés à une même distance d'un point fixe appelé centre. La région de l'espace située à l'intérieur de cette sphère, surface comprise, est appelée boule. On peut obtenir cette boule comme solide de révolution en faisant tourner un demi-disque de 360 degrés autour de son diamètre. La sphère qui la délimite est une surface parfaitement symétrique.

Si l'on fait tourner un demi-cercle autour de son diamètre, sa rotation complète engendre la surface sphérique, autrement dit la sphère.

Le point C représente le centre de la sphère. Tous les points de la sphère se trouvent exactement à la même distance de ce centre.

Cette distance correspond au rayon de la sphère. Le rayon relie donc le centre à n'importe quel point de la sphère.

On peut également considérer la boule comme un solide de révolution obtenu en faisant tourner un disque de 180 degrés autour de l'un de ses diamètres. On obtient alors le même solide.

D'un point de vue mathématique, la boule fermée de centre C et de rayon \( R \) est l'ensemble des points de l'espace dont la distance au centre C est inférieure ou égale à \( R \).

La sphère de centre C et de rayon \( R \), quant à elle, ne comprend que les points dont la distance au centre est exactement égale à \( R \). Cette distinction entre sphère et boule est essentielle en géométrie.

L'étude de la sphère remonte à l'Antiquité. Des philosophes et des mathématiciens grecs tels que Platon et Archimède se sont intéressés à ses propriétés. Archimède, en particulier, a établi des résultats fondamentaux sur l'aire de la sphère et le volume de la boule. La sphère a également occupé une place symbolique importante dans la philosophie et la cosmologie. Dans la pensée grecque, elle était notamment associée à la perfection, à l'harmonie et à la représentation du cosmos. Ce symbolisme se retrouve dans de nombreuses autres cultures, où la forme sphérique est souvent associée à la totalité et à l'infini.

Formules

Deux formules fondamentales permettent de calculer l'aire d'une sphère et le volume de la boule qu'elle délimite.

• Aire de la sphère
  Pour une sphère de rayon \( r \), l'aire est donnée par la formule $$ 4πr^2 $$

  Remarque. L'aire d'une sphère est égale à quatre fois l'aire d'un grand disque de même rayon. $$ 4 \cdot \pi r^2 $$
  
  Cette aire est également égale à l'aire latérale \( A_L \) du cylindre circonscrit à la sphère. Ce cylindre possède un rayon \( r \) et une hauteur égale au diamètre de la sphère, soit \( 2r \). On obtient donc : $$ A_L = C \cdot h = 2 \pi r \cdot 2r = 4 \pi r^2 $$
  

• Volume de la boule
  Le volume d'une boule est proportionnel au cube de son rayon. Pour une boule de rayon \( r \), il est donné par la formule : $$ \frac{4}{3}πr^3 $$

Calottes sphériques

Une calotte sphérique est une portion de sphère délimitée par un plan sécant.

Lorsqu'un plan (π) coupe une sphère, il partage sa surface en deux parties. Chacune de ces portions constitue une calotte sphérique. Selon la position du plan, les deux calottes peuvent avoir des dimensions différentes.

Pour décrire une calotte sphérique, on utilise trois éléments fondamentaux :

• La base : il s'agit du cercle obtenu par l'intersection du plan avec la sphère. Son centre est ici noté C.
• Le sommet (V) : c'est le point de la calotte le plus éloigné du plan de la base. Il se situe sur la droite perpendiculaire à ce plan qui passe par le centre de la sphère.
• La hauteur (h) : elle correspond à la distance perpendiculaire entre le sommet (V) et le plan de la base. Elle est donc égale à la distance entre V et le centre C de la base.

Le diamètre \( VV' \), perpendiculaire au plan de la base et passant à la fois par le centre de la sphère et par celui de la base, constitue un axe de symétrie de la calotte.

Cas particuliers

Si le plan (π) passe par le centre (O) de la sphère, celle-ci est partagée en deux hémisphères congruents.

Dans ce cas, chaque calotte est un hémisphère et son aire est exactement égale à la moitié de l'aire totale de la sphère.

À l'autre extrême, si le plan (π) est tangent à la sphère, l'intersection se réduit à un unique point V. Il s'agit d'un cas dégénéré dans lequel la hauteur et l'aire de la calotte sont nulles.

Remarque. Une calotte sphérique étant une portion de sphère, elle possède la même courbure que celle-ci. Elle présente également une symétrie de révolution autour de l'axe passant par le centre de la sphère et le centre de sa base.

Aire d'une calotte sphérique

L'aire d'une calotte sphérique dépend du rayon \( R \) de la sphère et de la hauteur \( h \) de la calotte. Elle est donnée par la formule :

$$ A = 2 \pi R h $$

où \( R \) désigne le rayon de la sphère et \( h \) la hauteur de la calotte.

Exemple

Considérons une sphère de rayon \( R = 5\,cm \). Si elle est coupée par un plan passant exactement par son centre, la calotte obtenue est un hémisphère. Sa hauteur est alors égale au rayon de la sphère :

\[ h = R = 5\,cm \]

En appliquant la formule de l'aire d'une calotte sphérique, on obtient :

\[ A = 2 \pi R h = 2 \pi \cdot 5 \cdot 5 = 50 \pi \approx 157.08\,cm^2 \]

Cette valeur correspond exactement à la moitié de l'aire totale de la sphère.

Démonstration. L'aire totale d'une sphère est donnée par : \[ A_{\text{total}} = 4 \pi R^2 \] Cette formule exprime l'aire d'une sphère de rayon \( R \). Si la sphère est coupée par un plan passant par son centre, elle est partagée en deux hémisphères congruents. L'aire de la surface sphérique de chacun d'eux est donc égale à la moitié de l'aire totale de la sphère : \[ A_{\text{hémisphère}} = \frac{4 \pi R^2}{2} = 2 \pi R^2 \] Considérons maintenant une calotte dont la hauteur \( h \) est égale au rayon \( R \). Cette calotte constitue alors un hémisphère. En remplaçant \( h \) par \( R \) dans la formule générale de l'aire d'une calotte sphérique, on obtient : \[ S = 2 \pi R h \] puis, puisque \( h = R \) : \[ S = 2 \pi R \cdot R = 2 \pi R^2 \] On retrouve ainsi exactement l'aire de la surface sphérique de l'hémisphère. Ce résultat confirme que la formule \( S = 2 \pi R h \) s'applique également au cas particulier d'une calotte hémisphérique.

Plus généralement, l'aire d'une calotte sphérique est égale à l'aire latérale d'un cylindre de rayon \( R \), égal au rayon de la sphère, et de hauteur \( h \), égale à la hauteur de la calotte. L'aire latérale de ce cylindre est en effet donnée par \( S_L = 2 \pi R h \).

Zone sphérique

Une zone sphérique est une portion de la surface d'une sphère comprise entre deux plans parallèles qui coupent cette sphère.

Ces deux plans coupent la sphère suivant deux cercles, qui constituent les bases de la zone, et partagent ainsi la surface sphérique en trois régions distinctes.

La partie de la surface située entre les deux plans constitue la zone sphérique proprement dite. Elle se présente comme une bande courbe délimitée par deux cercles.

Remarque. Pour se représenter facilement une zone sphérique, on peut penser à un globe terrestre. Deux parallèles tracés à des latitudes différentes délimitent une bande à la surface du globe. Cette bande donne une bonne représentation d'une zone sphérique.

Les centres \( P \) et \( Q \) des deux cercles de base sont situés sur une même droite passant par le centre de la sphère. Cette droite constitue l'axe de symétrie de la zone. La distance entre les deux plans, égale à la distance \( PQ \) entre les centres des deux bases, est appelée hauteur de la zone et est notée \( h \).

Aire d'une zone sphérique

L'aire \( S \) d'une zone sphérique est donnée par une formule particulièrement simple :

\[ S = 2 \pi R h \]

Dans cette formule, \( R \) désigne le rayon de la sphère et \( h \) la distance entre les deux plans parallèles, c'est-à-dire la hauteur de la zone. L'aire dépend donc uniquement du rayon de la sphère et de la hauteur de la zone.

Remarque. Une calotte sphérique peut être considérée comme un cas particulier de zone sphérique dans lequel l'un des deux plans est tangent à la sphère. La même formule s'applique donc : dans les deux cas, l'aire dépend uniquement du rayon \( R \) de la sphère et de la hauteur \( h \) de la portion de surface considérée.

Exemple

Considérons une sphère de rayon \( R = 10\,cm \), coupée par deux plans parallèles qui délimitent une zone de hauteur \( h = 4\,cm \).

En appliquant directement la formule de l'aire d'une zone sphérique, on obtient :

$$ S = 2 \pi R h = 2 \pi \cdot 10 \cdot 4 = 80 \pi \approx 251.33\,cm^2 $$

L'aire de la zone sphérique est donc d'environ \( 251.33\,cm^2 \).

Remarque. Cette formule met en évidence une propriété remarquable : l'aire d'une zone sphérique est égale à l'aire latérale d'un cylindre de rayon \( R \), égal au rayon de la sphère, et de hauteur \( h \), égale à celle de la zone. En effet, l'aire latérale de ce cylindre est elle aussi donnée par la formule \( S_L = 2 \pi R h \).

Fuseau sphérique

Un fuseau sphérique est une portion de la surface d'une sphère délimitée par deux demi-grands cercles ayant les mêmes extrémités diamétralement opposées. Ces demi-grands cercles appartiennent à deux demi-plans dont la frontière commune est un diamètre de la sphère.

Pour décrire un fuseau sphérique, on distingue plusieurs éléments :

• Angle dièdre : l'angle \( \alpha \) formé par les deux demi-plans qui délimitent le fuseau. C'est cet angle qui détermine l'ouverture du fuseau.
• Arc équatorial : l'arc d'un grand cercle perpendiculaire à l'axe du fuseau, comparable à une portion de l'équateur terrestre, compris entre les deux côtés du fuseau.
• Côtés du fuseau : les deux demi-grands cercles qui délimitent le fuseau sur la surface de la sphère.

Pour se représenter facilement un fuseau sphérique, on peut penser à une bande de peau d'orange comprise entre deux découpes passant par le centre du fruit. Plus les deux découpes s'écartent, plus le fuseau est large.

Aire d'un fuseau sphérique

L'aire d'un fuseau sphérique dépend directement de son angle dièdre. Elle peut être calculée de deux manières, selon que l'angle est exprimé en radians ou en degrés :

• Si l'angle est exprimé en radians : \[ S_f = 2 \alpha_{\text{rad}} R^2 \]
• Si l'angle est exprimé en degrés : \[ S_f = \frac{\alpha^\circ}{90^\circ} \pi R^2 \]

Dans ces formules, \( S_f \) désigne l'aire du fuseau, \( R \) le rayon de la sphère, \( \alpha_{\text{rad}} \) la mesure de l'angle en radians et \( \alpha^\circ \) la mesure du même angle en degrés.

La relation est simple : l'aire du fuseau est directement proportionnelle à son angle dièdre. Ainsi, si l'angle double, l'aire du fuseau double également. Le fuseau représente donc une fraction de la surface totale de la sphère déterminée uniquement par son ouverture angulaire.

Démonstration. L'aire totale d'une sphère est : \[ A_{\text{total}} = 4\pi R^2 \] Un fuseau occupe une fraction de cette surface proportionnelle à son angle dièdre. Si l'angle est exprimé en radians, un tour complet correspond à \( 2\pi \) radians. La fraction de la surface occupée par le fuseau est donc : \[ \frac{\alpha_{\text{rad}}}{2\pi} \] En multipliant cette fraction par l'aire totale de la sphère, on obtient : \[ A_{\text{fuseau}} = 4\pi R^2 \cdot \frac{ \alpha_{\text{rad}} }{2 \pi} = 2\alpha_{\text{rad}} R^2 \] Si l'angle est exprimé en degrés, un tour complet correspond à \( 360^\circ \). La fraction de la surface occupée par le fuseau est alors \( \alpha^\circ/360^\circ \), d'où : \[ A_{\text{fuseau}} = 4\pi R^2 \cdot \frac{ \alpha^\circ }{360^\circ} = \frac{\alpha^\circ}{90^\circ} \pi R^2 \]

Exemple

Calculons l'aire d'un fuseau appartenant à une sphère de rayon \( R = 5 \, \text{cm} \) et dont l'angle dièdre mesure \( 60^\circ \). Puisque l'angle est exprimé en degrés, on utilise la formule correspondante :

\[ S_f = \frac{60^\circ}{90^\circ} \pi R^2 = \frac{2}{3} \pi \cdot (5)^2 \]

\[ S_f = \frac{2}{3} \pi \cdot 25 = \frac{50}{3} \pi \, \text{cm}^2 \]

L'aire du fuseau est donc d'environ \( 52.36 \, \text{cm}^2 \).

Exemple 2

Considérons maintenant une sphère de rayon \( 10 \, \text{cm} \) et un fuseau dont l'angle dièdre mesure \( \frac{\pi}{4} \, \text{rad} \). Cette fois, l'angle étant exprimé en radians, on applique la première formule :

\[ S_f = 2 \alpha_{\text{rad}} R^2 = 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 10^2 \]

\[ S_f = \frac{\pi}{2} \cdot 100 = 50\pi \, \text{cm}^2 \]

L'aire de ce fuseau est donc d'environ \( 157.08 \, \text{cm}^2 \).

Segment sphérique

Un segment sphérique est une portion d'une boule délimitée par un ou deux plans parallèles. Selon le nombre de plans de coupe, on distingue le segment sphérique à une base et le segment sphérique à deux bases.

A] Segment sphérique à une base

Un segment sphérique à une base est obtenu en coupant une boule par un plan et en considérant l'une des deux parties ainsi formées.

La partie courbe de sa surface constitue une calotte sphérique. Si le plan de coupe passe par le centre de la sphère, le segment obtenu est une demi-boule et sa surface courbe est un hémisphère.

La base du segment est le disque délimité par le cercle d'intersection du plan de coupe avec la sphère.

Formule du volume

Si le segment a pour hauteur \( h \) et si sa base a pour rayon \( r \), son volume peut s'exprimer comme la somme du volume d'une boule de diamètre \( h \) et du volume d'un cylindre de rayon \( r \) et de hauteur \( h/2 \) :

$$ V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{h}{2} \right)^3 + \pi r^2 \cdot \frac{h}{2} $$

Cette relation permet donc de ramener le calcul du volume du segment à deux volumes bien connus : celui d'une boule de rayon \( h/2 \) et celui d'un cylindre de rayon \( r \) et de hauteur \( h/2 \).

La formule s'applique à tout segment sphérique à une base, quelle que soit sa position dans la boule, à condition que \( h \) représente la hauteur du segment et \( r \) le rayon de sa base.

Forme simplifiée de la formule

En utilisant le rayon \( R \) de la sphère initiale, la formule du volume peut également s'écrire sous une forme plus compacte :

$$ V = \frac{1}{3} \pi h^2 (3R - h) $$

où \( R \) désigne le rayon de la sphère qui délimite la boule initiale.

Démonstration. Considérons un segment sphérique à une base, de hauteur \( h = CV \), dont la base a pour rayon \( r = BC \).

En appliquant le second théorème d'Euclide au triangle rectangle VAB, on obtient : $$ BC^2 = AC \cdot CV $$ Comme \( BC = r \), on a : $$ r^2 = AC \cdot h $$ Or \( AC = 2R - h \), d'où : $$ r^2 = (2R - h) \cdot h $$ $$ r^2 = 2Rh - h^2 $$ En remplaçant \( r^2 \) par cette expression dans la formule initiale du volume, on obtient : $$ V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{h}{2} \right)^3 + \pi r^2 \cdot \frac{h}{2} $$ $$ V = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{h^3}{8} + \pi (2Rh - h^2) \cdot \frac{h}{2} $$ $$ V = \frac{\pi h^3}{6} + \pi R h^2 - \frac{\pi h^3}{2} $$ $$ \begin{aligned} V &= \pi R h^2 + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{2} \right) \pi h^3 \\ &= \pi R h^2 - \frac{1}{3} \pi h^3 \end{aligned} $$ En factorisant, on obtient : $$ \boxed{ V = \frac{1}{3} \pi h^2 (3R - h) } $$ On retrouve ainsi la forme simplifiée de la formule donnant le volume d'un segment sphérique à une base.

B] Segment sphérique à deux bases

Un segment sphérique à deux bases est obtenu en coupant une boule par deux plans parallèles et en conservant la partie comprise entre ces deux plans.

Autrement dit, il s'agit de la portion de la boule située entre deux sections planes parallèles. Ces deux sections forment les bases du segment sphérique.

Sa forme peut être comparée à celle d'un cylindre dont la surface latérale serait bombée vers l'extérieur.

Ses principaux éléments sont :

• Les bases supérieure et inférieure, qui sont les disques délimités par les cercles d'intersection des deux plans avec la sphère.
• La surface latérale courbe, qui constitue une zone sphérique.
• La hauteur du segment, \( h \), qui correspond à la distance entre les deux plans parallèles.
• Le rayon \( R \) de la sphère qui délimite la boule initiale.

Remarque. Il est important de distinguer ces différentes figures. Le segment sphérique est une portion solide de la boule. La calotte sphérique et le fuseau sphérique sont, quant à eux, des portions de la surface de la sphère. Dans le cas d'un segment sphérique à deux bases, la surface latérale courbe correspond à une zone sphérique.

Formule du volume

Si le segment a pour hauteur \( h \) et si ses deux bases ont pour rayons respectifs \( r_1 \) et \( r_2 \), son volume est donné par la formule :

$$ V = \frac{\pi h}{6} (3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2) $$

Remarque. Cette formule peut être comprise en décomposant le volume du segment en trois volumes plus simples : celui d'une boule de diamètre \( h \) et ceux de deux cylindres de hauteur \( h/2 \), dont les rayons des bases sont respectivement \( r_1 \) et \( r_2 \).

Les volumes des deux cylindres sont : $$ V_1 = \pi r_1^2 \cdot \frac{h}{2} \quad , \quad V_2 = \pi r_2^2 \cdot \frac{h}{2} $$ Le volume d'une boule de rayon \( h/2 \) est : $$ V_3 = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{h}{2} \right)^3 $$ En additionnant ces trois volumes, on obtient : $$ V = V_1 + V_2 + V_3 $$ $$ V = \pi r_1^2 \cdot \frac{h}{2} + \pi r_2^2 \cdot \frac{h}{2} + \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{h^3}{8} $$ $$ V = \frac{\pi h}{2} (r_1^2 + r_2^2) + \frac{1}{6} \pi h^3 $$ $$ V = \frac{1}{6} \pi h (3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2) $$ On obtient ainsi la formule générale du volume d'un segment sphérique à deux bases.

Coin sphérique

Un coin sphérique est une portion d'une boule délimitée par deux demi-disques distincts ayant pour diamètre commun un diamètre de la sphère. Ces deux demi-disques forment les faces planes du solide. La portion de surface sphérique comprise entre ces faces est un fuseau sphérique, qui constitue la surface latérale du coin.

Pour visualiser facilement ce solide, on peut penser à un quartier d'orange découpé suivant deux plans passant par le centre du fruit.

Le volume d'un coin sphérique dépend directement de l'angle dièdre formé par ses deux faces planes. Plus cet angle est grand, plus le coin représente une fraction importante du volume total de la boule.

Si l'angle est exprimé en radians, le rapport entre le volume du coin et celui de la boule est égal au rapport entre l'angle \( \alpha_{rad} \) et un tour complet, soit \( 2\pi \) radians :

$$V : \frac{4}{3} \pi R^3 = \alpha_{rad} : 2\pi$$

En isolant \( V \), on obtient la formule du volume :

$$V = \alpha_{rad} \cdot \frac{2}{3} R^3$$

Remarque. Si l'angle est exprimé en degrés, un tour complet correspond à \( 360^\circ \). La proportion devient alors : $$V : \frac{4}{3} \pi R^3 = \alpha : 360^\circ$$ En isolant \( V \), on obtient : $$V = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$$ soit, sous une forme équivalente : $$V = \frac{\alpha}{270^\circ} \pi R^3$$

Anneau sphérique

Un anneau sphérique est un solide obtenu en retranchant, d'un segment sphérique à deux bases circulaires, un tronc de cône inscrit ayant les mêmes bases et la même hauteur.

Pour construire ce solide, on considère donc un segment sphérique à deux bases et on y inscrit un tronc de cône. Le segment sphérique et le tronc de cône ont en commun leurs deux bases circulaires ainsi que leur hauteur.

Les deux sections circulaires qui délimitent le segment sphérique constituent ainsi les bases du tronc de cône.

Un tronc de cône est la portion d'un cône comprise entre deux plans parallèles à sa base. Dans la configuration étudiée ici, ses deux bases coïncident exactement avec celles du segment sphérique.

La région solide située entre la surface latérale du tronc de cône et la surface courbe du segment sphérique constitue l'anneau sphérique.

Autrement dit, l'anneau sphérique correspond au volume qui reste lorsqu'on retire du segment sphérique tout le volume occupé par le tronc de cône inscrit.

Volume de l'anneau sphérique

Le volume de l'anneau sphérique s'obtient en soustrayant le volume du tronc de cône de celui du segment sphérique. Après simplification, il est donné par la formule :

$$ V = \frac{1}{6} \pi a^2 h $$

où \( a \) désigne la génératrice du tronc de cône et \( h \) sa hauteur, qui correspond également à la hauteur de l'anneau sphérique.

Démonstration. Pour établir cette formule, partons de la définition même de l'anneau sphérique. Son volume est égal à la différence entre le volume du segment sphérique et celui du tronc de cône inscrit : $$ V_{\text{anneau}} = V_{\text{segment sphérique}} - V_{\text{tronc de cône}} $$ Le volume d'un segment sphérique de hauteur \( h \), dont les deux bases ont pour rayons \( r_1 \) et \( r_2 \), est : $$ V_{\text{segment sphérique}} = \frac{\pi h}{6} \left( 3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2 \right) $$ Le volume du tronc de cône de même hauteur \( h \), dont les bases ont également pour rayons \( r_1 \) et \( r_2 \), est : $$ V_{\text{tronc de cône}} = \frac{1}{3} \pi h \left( r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2 \right) $$ En soustrayant ces deux volumes, on obtient : $$ V_{\text{anneau}} = \frac{\pi h}{6} \left( 3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2 \right) - \frac{1}{3} \pi h \left( r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2 \right) $$ Réduisons maintenant les deux termes au même dénominateur : $$ V_{\text{anneau}} = \frac{\pi h}{6} \left[ (3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2) - 2 (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) \right] $$ En développant puis en simplifiant l'expression : $$ V_{\text{anneau}} = \frac{\pi h}{6} \left( r_1^2 + r_2^2 + h^2 - 2 r_1 r_2 \right) $$ Les trois premiers termes liés aux rayons peuvent être regroupés grâce à l'identité remarquable : $$ r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 = (r_1 - r_2)^2 $$ On obtient alors : $$ V_{\text{anneau}} = \frac{\pi h}{6} \left( (r_1 - r_2)^2 + h^2 \right) $$ Or la génératrice \( a \) du tronc de cône, sa hauteur \( h \) et la différence \( r_1-r_2 \) entre les rayons de ses bases forment un triangle rectangle. D'après le théorème de Pythagore : $$ a^2 = (r_1 - r_2)^2 + h^2 $$ Il suffit donc de remplacer l'expression entre parenthèses par \( a^2 \) pour obtenir : $$ V_{\text{anneau}} = \frac{1}{6} \pi a^2 h $$ Le volume de l'anneau sphérique dépend ainsi uniquement de la génératrice \( a \) du tronc de cône inscrit et de sa hauteur \( h \).

Secteur sphérique

Un secteur sphérique est un solide délimité par une surface conique dont le sommet coïncide avec le centre d'une sphère et par la portion de surface sphérique correspondante, qui forme une calotte sphérique.

On peut également obtenir un secteur sphérique en faisant effectuer une rotation complète à un secteur circulaire autour d'un axe approprié situé dans son plan.

Dans sa configuration classique, le secteur sphérique peut être décomposé en deux solides : un segment sphérique à une base et un cône circulaire droit ayant la même base, dont le sommet coïncide avec le centre de la sphère.

Cette décomposition permet de visualiser facilement la structure du secteur sphérique et conduit directement à la formule de son volume.

Volume d'un secteur sphérique

Le volume d'un secteur sphérique est donné par la formule :

$$ V = \frac{2}{3} \pi R^2 h $$

où \( R \) désigne le rayon de la sphère et \( h \) la hauteur du segment sphérique associé, c'est-à-dire la distance entre le plan de sa base et le sommet de la calotte sphérique.

Cette formule montre notamment que, pour une sphère de rayon donné, le volume du secteur est directement proportionnel à la hauteur \( h \).

Aire totale du secteur sphérique

L'aire totale du secteur comprend la calotte sphérique et la surface latérale du cône. Elle est donnée par :

$$ A = \pi R (2h + r) $$

où \( r \) désigne le rayon du cercle commun à la base du segment sphérique et à celle du cône.

Démonstration. Pour établir la formule du volume, décomposons le secteur sphérique en deux solides : un segment sphérique à une base et un cône dont le sommet coïncide avec le centre de la sphère. Le volume du segment sphérique est : $$ V_{\text{seg}} = \frac{1}{3} \pi h^2 (3R - h) $$ Le volume du cône droit est : $$ V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \pi r^2 (R - h) $$ Considérons maintenant une section de la sphère par un plan passant par son centre et perpendiculaire au plan de la base. Le triangle rectangle ainsi obtenu permet d'écrire, d'après le théorème de Pythagore : $$ r^2 = R^2 - (R - h)^2 = 2Rh - h^2 $$ Pour une explication plus détaillée de cette relation, voir la démonstration de la formule simplifiée du volume du segment sphérique. Additionnons les volumes du segment sphérique et du cône : $$ \begin{aligned} V_{\text{secteur}} &= V_{\text{seg}} + V_{\text{cône}} \\ &= \frac{1}{3} \pi \left[ h^2 (3R - h) + r^2 (R - h) \right] \end{aligned} $$ En remplaçant \( r^2 \) par \( 2Rh - h^2 \), on obtient : $$ \begin{aligned} & h^2 (3R - h) + (2Rh - h^2)(R - h) \\ &= 3Rh^2 - h^3 + 2R^2h - 3Rh^2 + h^3 \\ &= 2R^2h \end{aligned} $$ Le volume du secteur sphérique se simplifie donc sous la forme : $$ \boxed{\, V_{\text{secteur}} = \frac{1}{3} \pi (2R^2 h) = \frac{2}{3} \pi R^2 h \,} $$ On retrouve ainsi la formule classique du volume d'un secteur sphérique.

Ces formules s'appliquent au secteur sphérique classique, c'est-à-dire à la configuration dans laquelle la surface conique appartient à un cône circulaire droit dont le sommet coïncide avec le centre de la sphère.

Dans des configurations plus complexes, il n'est pas toujours possible d'appliquer directement cette formule. Il faut alors analyser la figure et la décomposer en solides plus simples dont les volumes sont connus.

Autres configurations de secteurs sphériques

Selon la géométrie de la figure, le volume recherché peut s'exprimer comme une somme ou une différence de volumes de secteurs sphériques, de segments sphériques ou de cônes.

Dans l'exemple suivant, le volume s'obtient en retranchant du volume d'un segment sphérique les volumes de deux cônes :

Dans une autre configuration, le volume recherché correspond à la différence entre les volumes de deux secteurs sphériques emboîtés :

Avant d'effectuer les calculs, il est donc essentiel d'identifier précisément les différentes parties de la figure. Une décomposition géométrique adaptée permet ensuite de ramener le problème à des volumes connus et d'appliquer les formules correspondantes.

Sphère en géométrie analytique

En géométrie analytique, une sphère est l'ensemble des points de l'espace situés à une même distance d'un point fixe appelé centre. Cette distance constante correspond au rayon de la sphère.

Cette définition géométrique peut être traduite directement sous forme d'une équation, ce qui permet d'étudier la sphère à l'aide des outils de l'algèbre et des coordonnées cartésiennes.

Équation canonique de la sphère

L'équation canonique d'une sphère de centre \( (x_0, y_0, z_0) \) et de rayon \( r \) est :

$$ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 $$

où \( (x, y, z) \) désignent les coordonnées d'un point quelconque de l'espace tridimensionnel appartenant à la sphère.

Cette équation exprime simplement que la distance entre le point \( (x,y,z) \) et le centre \( (x_0,y_0,z_0) \) est toujours égale à \( r \).

Équation générale de la sphère

En développant l'équation canonique, on obtient l'équation générale d'une sphère :

$$ x^2 + y^2 + z^2 + a x + b y + c z + d = 0 $$

avec :

$$ a = -2x_0, \qquad b = -2y_0, \qquad c = -2z_0 $$

et :

$$ d = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - r^2 $$

Cette équation constitue l'analogue, dans l'espace tridimensionnel, de l'équation d'un cercle dans le plan cartésien.

Comment déterminer le centre ?

À partir de l'équation générale, les coordonnées du centre de la sphère se déterminent directement à partir des coefficients des termes du premier degré :

$$ x_0 = - \frac{a}{2}, \qquad y_0 = - \frac{b}{2}, \qquad z_0 = - \frac{c}{2} $$

Le centre a donc pour coordonnées :

$$ C = (x_0, y_0, z_0) = \left( - \frac{a}{2}, - \frac{b}{2}, - \frac{c}{2} \right) $$

Lorsque la sphère est centrée à l'origine \( O(0, 0, 0) \), son équation prend une forme particulièrement simple :

$$ x^2 + y^2 + z^2 = r^2 $$

Comment déterminer le rayon ?

Le rayon peut lui aussi être retrouvé à partir de l'équation générale. Une fois les coordonnées du centre déterminées, on utilise :

$$ r = \sqrt{x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - d} $$

Explication. Puisque \( d = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - r^2 \), il suffit d'isoler \( r^2 \) : $$ r^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - d $$ En prenant la racine carrée, on obtient : $$ r = \sqrt{x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - d} $$

Dans le cas particulier où le centre est situé à l'origine, on retrouve immédiatement :

$$ x^2 + y^2 + z^2 = r^2 $$

L'illustration suivante représente une sphère de rayon unité centrée à l'origine du repère cartésien.

 

Condition d'existence d'une sphère réelle. Toute équation de la forme \( x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0 \) ne représente pas nécessairement une sphère réelle de rayon non nul. Rappelons que \( d = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - r^2 \). Le carré du rayon s'écrit donc : $$ r^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - d $$ En remplaçant les coordonnées du centre par : $$ x_0 = -\frac{a}{2}, \quad y_0 = -\frac{b}{2}, \quad z_0 = -\frac{c}{2} $$ on obtient : $$ r^2 = \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2 + \left(-\frac{c}{2}\right)^2 - d $$ soit : $$ r^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} + \frac{c^2}{4} - d $$ Pour obtenir une sphère réelle de rayon non nul, cette quantité doit être strictement positive : $$ \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} + \frac{c^2}{4} - d > 0 $$ Si elle est nulle, l'ensemble se réduit au seul point \( C \), ce qui constitue un cas dégénéré. Si elle est négative, l'équation ne possède aucun point réel.

Exemple

Considérons une sphère de centre \( C = (1, 2, -1) \) et de rayon \( r = 3 \).

Partons de son équation canonique :

$$ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 $$

En remplaçant \( x_0 = 1 \), \( y_0 = 2 \), \( z_0 = -1 \) et \( r = 3 \), on obtient :

$$ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 3^2 $$

Développons les trois carrés :

$$ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + (z^2 + 2z + 1) = 9 $$

Regroupons maintenant tous les termes dans le membre de gauche :

$$ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 2z + 1 + 4 + 1 - 9 = 0 $$

Après simplification :

$$ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 2z - 3 = 0 $$

Nous avons ainsi obtenu l'équation générale de la sphère.

Vérification de la condition d'existence. Dans cet exemple, les coefficients sont \( a = -2 \), \( b = -4 \), \( c = 2 \) et \( d = -3 \). Vérifions la condition : $$ \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} + \frac{c^2}{4} - d > 0 $$ En remplaçant les coefficients par leurs valeurs : $$ \frac{(-2)^2}{4} + \frac{(-4)^2}{4} + \frac{2^2}{4} - (-3) > 0 $$ $$ \frac{4}{4} + \frac{16}{4} + \frac{4}{4} + 3 > 0 $$ $$ 1 + 4 + 1 + 3 = 9 > 0 $$ La condition est donc vérifiée. L'équation \( x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 2z - 3 = 0 \) représente bien une sphère réelle de rayon \( r = 3 \).

Démonstration

La forme canonique de l'équation d'une sphère découle directement de sa définition géométrique. En effet, tout point \( (x,y,z) \) de la sphère se trouve à une distance \( r \) du centre \( (x_0,y_0,z_0) \).

La formule de la distance dans l'espace donne :

$$ \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2} = r $$

En élevant les deux membres au carré :

$$ \left(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2}\right)^2 = r^2 $$

On obtient immédiatement :

$$ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 $$

Développons maintenant chacun des carrés :

$$ x^2 - 2x x_0 + x_0^2 + y^2 - 2y y_0 + y_0^2 + z^2 - 2z z_0 + z_0^2 = r^2 $$

En posant \( a = -2x_0 \), \( b = -2y_0 \) et \( c = -2z_0 \), l'équation devient :

$$ x^2 + a x + x_0^2 + y^2 + b y + y_0^2 + z^2 + c z + z_0^2 = r^2 $$

En regroupant tous les termes dans le membre de gauche :

$$ x^2 + y^2 + z^2 + a x + b y + c z + (x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - r^2) = 0 $$

Enfin, en regroupant les termes constants dans un seul coefficient \( d \), avec :

$$ d = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - r^2 $$

on obtient :

$$ x^2 + y^2 + z^2 + a x + b y + c z + d = 0 $$

On retrouve ainsi la forme générale de l'équation d'une sphère.

Équation de la sphère en coordonnées sphériques

La sphère peut également être décrite à l'aide des coordonnées sphériques, particulièrement adaptées aux problèmes présentant une symétrie sphérique ou radiale.

Pour une sphère de centre \( (x_0,y_0,z_0) \) et de rayon \( r \), une paramétrisation courante est :

$$ \begin{cases} x = x_0 + r \sin \theta \cos \phi \\ \\ y = y_0 + r \sin \theta \sin \phi \\ \\ z = z_0 + r \cos \theta \end{cases} $$

où :

• \( r \) est la distance radiale mesurée à partir du centre de la sphère ;
• \( \theta \) est l'angle polaire, mesuré à partir de l'axe \( z \) ;
• \( \phi \) est l'angle azimutal, mesuré dans le plan \( xy \) à partir de l'axe \( x \).

Pour une sphère donnée, \( r \) reste constant, tandis que \( \theta \) et \( \phi \) varient. En faisant varier ces deux angles sur leurs domaines respectifs, on parcourt toute la surface de la sphère.

Remarques complémentaires

Quelques propriétés permettent de compléter l'étude analytique et géométrique de la sphère.

• Sections planes
  Lorsqu'un plan est sécant à une sphère, leur intersection est un cercle. Si le plan passe par le centre de la sphère, le cercle obtenu possède le même rayon que la sphère : il s'agit d'un grand cercle.
  
• Corde
  Une corde est un segment dont les deux extrémités appartiennent à la sphère. Toute corde est contenue dans un plan sécant à la sphère.
• Diamètre
  Un diamètre est une corde passant par le centre de la sphère. Sa longueur est égale au double du rayon : $$ d = 2r $$
• Position relative d'un plan et d'une sphère
  Soit \( \alpha \) un plan et \( \Sigma \) une sphère de centre \( C \) et de rayon \( r \). Selon la distance \( d \) du centre \( C \) au plan \( \alpha \), trois situations sont possibles :
  • Plan extérieur : si \( d > r \), le plan et la sphère n'ont aucun point commun.
  • Plan tangent : si \( d = r \), le plan et la sphère ont un unique point commun, appelé point de tangence.
  • Plan sécant : si \( d < r \), le plan coupe la sphère suivant un cercle.
• Hypersphère ou n-sphère
  La n-sphère généralise la notion de sphère aux espaces de dimension supérieure. Dans cette terminologie, la sphère ordinaire de l'espace tridimensionnel est une 2-sphère, tandis qu'une 3-sphère est son analogue dans un espace à quatre dimensions.
• Segments tangents issus d'un point extérieur
  Les segments reliant un même point extérieur \( P \) aux différents points de contact des droites tangentes à une sphère ont tous la même longueur : $$ \overline{AP} \cong \overline{BP} \cong \overline{CP} \cong \overline{DP} $$ L'ensemble de ces segments tangents engendre une surface conique de révolution dont le sommet est \( P \) et dont le cercle de contact appartient à la sphère.
  

Ces propriétés complètent l'étude analytique de la sphère et permettent de relier son équation algébrique à ses principales caractéristiques géométriques.