Cylindre
En géométrie élémentaire, un cylindre est un solide que l'on peut obtenir en faisant tourner complètement un rectangle autour de l'un de ses côtés. Ce côté devient alors l'axe de rotation.
Le cylindre ainsi obtenu est donc un solide de révolution.
La distance entre l'axe de rotation et le côté opposé du rectangle correspond au rayon de la base, également appelé rayon du cylindre.
Le cylindre est délimité par deux disques parallèles et superposables, appelés bases, reliés par une surface latérale courbe.
La hauteur du cylindre est la distance entre les plans des deux bases. Dans un cylindre de révolution, elle correspond à la longueur du côté du rectangle qui sert d'axe de rotation et elle est perpendiculaire aux plans des bases.
Lorsque la hauteur du cylindre est égale au diamètre de sa base, on parle de cylindre équilatéral.
Remarque : en géométrie élémentaire, le terme "cylindre" désigne le plus souvent un cylindre circulaire droit, également appelé cylindre de révolution. En mathématiques, le mot peut toutefois avoir un sens plus général. Une surface cylindrique est une surface réglée engendrée par une droite, appelée génératrice, qui se déplace parallèlement à elle-même en suivant une courbe directrice. On rencontre ainsi des cylindres elliptiques, paraboliques et hyperboliques, ainsi que des cylindres obliques. Contrairement au cylindre de révolution obtenu par la rotation d'un rectangle, ces cylindres ne sont pas nécessairement engendrés par une rotation autour d'un axe.
Formules du cylindre
Pour un cylindre circulaire droit de rayon \( r \) et de hauteur \( h \), les principales formules permettent de calculer l'aire d'une base, l'aire latérale, l'aire totale et le volume.
- Aire d'une base
Chaque base est un disque de rayon \( r \). Son aire est donc :
$$ S_B = \pi r^2 $$ - Aire latérale
L'aire latérale est égale au produit du périmètre d'une base par la hauteur du cylindre :
$$ S_L = 2 \pi r \cdot h $$
où \( r \) désigne le rayon de la base, \( h \) la hauteur du cylindre et \( \pi \) la constante pi, dont la valeur approchée est 3,14159. - Aire totale
L'aire totale comprend la surface latérale et les deux bases. Comme chacune des bases est un disque d'aire \( \pi r^2 \), on obtient :
$$ S_T = S_L + 2 \pi r^2 $$ $$ S_T = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 $$ $$ S_T = 2 \pi r (h + r) $$Explication. Pour comprendre facilement cette formule, imaginons que l'on développe la surface latérale du cylindre dans un plan.
Une fois développée, la surface latérale forme un rectangle. Sa longueur est égale au périmètre de la base, soit 2πr, tandis que sa largeur correspond à la hauteur du cylindre, soit h.
$$ S_L = 2 \pi r h $$
L'aire de chacune des deux bases est celle d'un disque :
$$ S_B = \pi r^2 $$
Il suffit alors d'additionner l'aire latérale et l'aire des deux bases pour obtenir l'aire totale :
$$ S_T = 2 S_B + S_L $$ $$ S_T = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h $$ $$ S_T = 2 \pi r (r + h) $$ - Volume
Le volume \( V \) d'un cylindre circulaire droit s'obtient en multipliant l'aire d'une base par la hauteur \( h \) :
$$ V = \pi r^2 h $$
Cette formule reste valable pour un cylindre oblique. En effet, le volume dépend de l'aire de la base et de la hauteur, c'est-à-dire de la distance perpendiculaire entre les deux plans parallèles contenant les bases.
Remarque. Plus généralement, le volume d'un cylindre est égal au produit de l'aire \( A \) d'une base par sa hauteur \( h \) :
$$ V = A \cdot h = \pi r^2 h $$
Les différents types de cylindres
Le cylindre circulaire droit est le cas le plus courant en géométrie élémentaire, mais il existe plusieurs autres types de cylindres et de surfaces cylindriques.
- Cylindre circulaire droit
Ses bases sont des disques et ses génératrices sont perpendiculaires aux plans des bases. Son axe est donc lui aussi perpendiculaire aux bases. Le cylindre circulaire droit est également appelé cylindre de révolution. - Cylindre circulaire oblique
Ses bases sont des disques parallèles et superposables, mais ses génératrices sont inclinées par rapport aux plans des bases. - Cylindre oblique
Plus généralement, un cylindre est dit oblique lorsque ses génératrices ne sont pas perpendiculaires aux plans des bases. Une section par un plan contenant deux génératrices peut alors avoir la forme d'un parallélogramme plutôt que celle d'un rectangle. - Cylindre elliptique
Un cylindre elliptique est une surface cylindrique dont une section droite, et donc une directrice convenablement choisie, est une ellipse. - Cylindre parabolique
Un cylindre parabolique est une surface cylindrique engendrée par une famille de droites parallèles s'appuyant sur une parabole. Cette surface est non bornée. - Cylindre hyperbolique
Un cylindre hyperbolique est une surface cylindrique engendrée par une famille de droites parallèles s'appuyant sur une hyperbole. Cette surface est elle aussi non bornée.
Le terme cylindre possède donc un sens plus large en mathématiques que dans la géométrie élémentaire. Il ne désigne pas uniquement le cylindre circulaire droit que l'on rencontre le plus souvent dans les exercices scolaires. Plus généralement, une surface cylindrique est caractérisée par une famille de génératrices parallèles et peut être définie à partir de différentes courbes directrices.
Le cylindre en géométrie analytique
En géométrie analytique, un cylindre peut être décrit à l'aide d'équations exprimées dans différents systèmes de coordonnées, notamment les coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques.
Considérons un cylindre circulaire droit dont l'axe coïncide avec l'axe \( z \). Si ses bases sont centrées sur cet axe, sa surface latérale est décrite par l'équation :
$$ x^2 + y^2 = r^2 $$
où \( r \) représente le rayon des bases circulaires.
Cette équation décrit tous les points \( (x, y, z) \) situés à une distance constante \( r \) de l'axe \( z \). Comme la variable \( z \) n'apparaît pas dans l'équation, elle peut prendre n'importe quelle valeur réelle : la surface se prolonge donc indéfiniment suivant l'axe \( z \).
Pour représenter un cylindre de hauteur finie, il suffit de limiter les valeurs possibles de \( z \).
Par exemple, si le cylindre s'étend du plan \( z=0 \) jusqu'au plan \( z=h \), on impose la condition :
$$ 0 \le z \le h $$
On obtient alors un cylindre de hauteur \( h \), dont la base inférieure se trouve dans le plan \( xy \) et la base supérieure dans le plan \( z=h \).
Cylindre circulaire
Un cylindre circulaire infini dont les génératrices sont parallèles à l'axe \( z \) peut être décrit par une équation de la forme : $$ x^2 + y^2 + a x + b y + c = 0 $$
Cette équation représente une surface cylindrique circulaire lorsque sa directrice dans le plan \( xy \) est un cercle réel. Pour déterminer la nature de cette directrice, il suffit de mettre l'équation sous la forme canonique d'un cercle.
La condition à vérifier est :
$$ \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - c \ge 0 $$
Lorsque l'inégalité est stricte, la directrice est un véritable cercle de rayon non nul. Lorsque le membre de droite est nul, le cercle se réduit à un point et l'équation représente alors une droite parallèle à l'axe \( z \). Il s'agit d'un cas dégénéré.
Le qualificatif "infini" signifie simplement que la surface n'est pas limitée dans la direction de ses génératrices : elle se prolonge indéfiniment dans les deux sens.
Démonstration. Partons de l'équation : $$ x^2 + a x + y^2 + b y + c = 0 $$ Regroupons d'abord les termes en \( x \) et en \( y \) : $$ (x^2 + a x) + (y^2 + b y) + c = 0 $$ Complétons ensuite les carrés en ajoutant et en retranchant \( \frac{a^2}{4} \) et \( \frac{b^2}{4} \) :
$$ (x + \frac{a}{2})^2 + (y + \frac{b}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - c $$
On reconnaît alors l'équation d'un cercle de centre \( \left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right) \). Pour que son rayon soit réel, le second membre doit être positif ou nul :
$$ \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - c \ge 0 $$
Le même raisonnement s'applique lorsque les génératrices sont parallèles à un autre axe de coordonnées :
- Dans le plan \( xz \), une équation de la forme $$ x^2 + z^2 + a x + b z + c = 0 $$ représente un cylindre circulaire dont les génératrices sont parallèles à l'axe \( y \).
- Dans le plan \( yz \), une équation de la forme $$ y^2 + z^2 + a y + b z + c = 0 $$ représente un cylindre circulaire dont les génératrices sont parallèles à l'axe \( x \).
Exemple
Considérons le cylindre défini par l'équation :
$$ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 1 $$
En multipliant les deux membres par 4, on obtient :
$$ x^2 + y^2 = 4 $$
Il s'agit donc d'un cylindre circulaire infini de rayon \( 2 \), dont l'axe est l'axe \( z \).
Cylindre hyperbolique
Un cylindre hyperbolique est une surface cylindrique obtenue en translatant une hyperbole suivant une direction fixe. Lorsque les génératrices sont parallèles à l'axe \( z \), une équation canonique est : $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ La surface ainsi obtenue se prolonge indéfiniment suivant la direction de l'axe \( z \).
La variable \( z \) n'apparaît pas dans l'équation. Ainsi, quelle que soit la valeur de \( z \), les coordonnées \( (x,y) \) vérifient toujours l'équation de la même hyperbole. On peut donc se représenter la surface comme une hyperbole que l'on fait glisser parallèlement à l'axe \( z \).
Deux éléments permettent de décrire cette surface :
- Directrice : il s'agit de l'hyperbole située dans le plan \( xy \). Ses deux branches se rapprochent de leurs asymptotes à mesure que l'on s'éloigne du centre.
- Génératrices : ce sont les droites parallèles à l'axe \( z \) passant par chacun des points de la directrice. L'ensemble de ces droites forme la surface cylindrique.
Le cylindre hyperbolique est une surface réglée, car il est constitué d'une famille de droites. C'est également une surface cylindrique : ses intersections avec les plans \( z=\text{constante} \), parallèles au plan \( xy \), sont toutes des hyperboles identiques.
La direction des génératrices détermine l'orientation du cylindre. Ici, l'absence de \( z \) dans l'équation indique immédiatement que les génératrices sont parallèles à l'axe \( z \).
En permutant les variables, on obtient de la même manière des cylindres hyperboliques dont les génératrices sont parallèles à l'axe \( x \) ou à l'axe \( y \).
Exemple. Considérons l'équation : $$ \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{4} = 3 $$ La directrice se trouve dans le plan \( xy \) et l'hyperbole s'ouvre suivant l'axe \( x \). On peut réécrire l'équation sous la forme :
$$ x^2 = 2 \left( 3 + \frac{y^2}{4} \right ) $$
ou encore :
$$ y^2 = 4 \left( \frac{x^2}{2} - 3 \right ) $$
Chaque point \( (x,y) \) de cette hyperbole engendre une droite parallèle à l'axe \( z \). La réunion de toutes ces droites constitue la surface du cylindre hyperbolique.
Cylindre parabolique
Un cylindre parabolique est une surface cylindrique obtenue en translatant une parabole suivant une direction fixe. Lorsque les génératrices sont parallèles à l'axe \( z \), une équation canonique peut s'écrire : $$ y = k x^2 $$ où \( k \) est une constante réelle non nulle. La surface se prolonge alors indéfiniment suivant l'axe \( z \).
Ici encore, la variable \( z \) n'apparaît pas dans l'équation. Celle-ci reste donc vérifiée quelle que soit la valeur de \( z \). Géométriquement, cela signifie que la même parabole se répète à toutes les hauteurs.
Exemple. Prenons pour directrice la parabole \( y=x^2 \). La surface correspondante est décrite par :
$$y = x^2, \quad z \in \mathbb{R} $$
Pour chaque valeur constante de \( z \), l'intersection de la surface avec le plan correspondant est la même parabole \( y=x^2 \).
On peut donc visualiser cette surface en imaginant que la parabole \( y=x^2 \) glisse parallèlement à l'axe \( z \).
Si la parabole directrice se trouve dans le plan \( xz \), on peut par exemple considérer l'équation :
$$ z = x^2 $$
Cette fois, la variable \( y \) n'apparaît pas. Les génératrices sont donc parallèles à l'axe \( y \).
De même, si la parabole directrice se trouve dans le plan \( yz \), on peut écrire :
$$ z = y^2 $$
L'équation ne dépend alors pas de \( x \). Les génératrices sont donc parallèles à l'axe \( x \).
Remarques
Quelques propriétés permettent de mieux comprendre la géométrie des cylindres et leurs relations avec d'autres solides :
- Deux cylindres circulaires droits sont congruents s'ils ont le même rayon de base et la même hauteur.
- L'intersection d'un cylindre circulaire droit fini avec un plan passant par son axe est un rectangle. Si le cylindre est équilatéral, c'est-à-dire si sa hauteur est égale au diamètre de sa base, cette section est un carré.
- Le cylindre présente plusieurs analogies avec le prisme, notamment pour le calcul du volume. Sa base circulaire lui confère toutefois des propriétés spécifiques, en particulier une symétrie de révolution autour de son axe.
- Égalité des volumes d'un prisme et d'un cylindre
Un prisme et un cylindre ayant la même aire de base \( A \) et la même hauteur \( h \) ont le même volume.
Démonstration. Dans les deux cas, le volume est égal au produit de l'aire de la base par la hauteur : $$ V = A \cdot h $$ où \( A \) désigne l'aire de la base et \( h \) la hauteur, c'est-à-dire la distance perpendiculaire entre les plans des deux bases.
Ces différentes représentations montrent que la notion de cylindre dépasse largement le seul cylindre circulaire droit étudié en géométrie élémentaire. En géométrie analytique, l'absence d'une variable dans l'équation d'une surface constitue notamment un indice essentiel : elle indique que la courbe définie par les autres variables se prolonge parallèlement à l'axe correspondant.
