Les solides équivalents

Deux solides sont dits équivalents lorsqu'ils ont le même volume, même si leurs formes sont différentes. \[ V_A = V_B \] Ici, \( V_A \) et \( V_B \) désignent respectivement les volumes des deux solides.

L'équivalence concerne donc uniquement le volume, c'est-à-dire la mesure de l'espace occupé par un solide. Elle n'implique pas que les solides aient la même forme, les mêmes dimensions ou la même aire totale.

Deux solides peuvent ainsi avoir des formes très différentes tout en occupant exactement le même volume.

Autrement dit, deux solides équivalents n'ont pas nécessairement la même hauteur, la même base ou la même aire totale. La seule condition est qu'ils aient le même volume.

Un exemple concret

Prenons tout d'abord un cube dont les arêtes mesurent 3 cm. Son volume est égal à 27 cm³ :

\[ V = 3^3 = 27 \ cm^3 \]

Considérons maintenant un prisme droit à base carrée de 3 cm × 3 cm et de hauteur 3 cm. Son volume est lui aussi égal à 27 cm³ :

\[ V = 3^3 = 27 \ cm^3 \]

De même, un cylindre dont l'aire de la base est de 9 cm² et la hauteur de 3 cm possède le même volume :

\[ V = 9 \cdot 3 = 27 \ cm^3 \]

Ces solides peuvent donc avoir des formes différentes tout en étant équivalents, puisqu'ils ont tous le même volume.

Transformations qui conservent le volume

Un solide peut parfois être décomposé puis réassemblé sous une autre forme sans que son volume total soit modifié.

Le principe consiste à découper le solide en plusieurs parties, puis à déplacer et à réagencer celles-ci. Tant qu'aucune partie n'est ajoutée ni supprimée, le volume total reste inchangé.

Exemple

Un prisme triangulaire peut être décomposé en trois pyramides de même volume. Cette décomposition permet notamment de comprendre la relation entre le volume d'un prisme et celui d'une pyramide ayant la même aire de base et la même hauteur.

Remarque. Les pyramides P1 et P2 ont pour bases les triangles congruents $ ABC = A'B'C' $ et ont la même hauteur $ AA' = CC' $. Elles ont donc le même volume. De même, les pyramides P2 et P3 ont pour bases les triangles congruents $ BCC' = BCB' $ et ont la même hauteur $ A'B' $. Elles ont donc, elles aussi, le même volume. Par transitivité, les pyramides P1 et P3 ont également le même volume.

Le volume d'une pyramide se calcule à l'aide de la formule :

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \text{aire de la base} \cdot \text{hauteur} \]

Le volume d'un prisme se calcule, quant à lui, à l'aide de la formule :

\[ V = \text{aire de la base} \cdot \text{hauteur} \]

On constate donc qu'une pyramide a un volume égal au tiers de celui d'un prisme ayant la même aire de base et la même hauteur.

Dans cette décomposition, le volume du prisme est ainsi égal à la somme des volumes des trois pyramides de même volume qui le composent. Cette relation permet de retrouver directement la formule du volume d'une pyramide.

Équivalence et congruence

Les notions d'équivalence et de congruence sont proches, mais elles ne doivent pas être confondues.

• Congruence : deux solides congruents ont la même forme et les mêmes dimensions. Ils sont donc superposables par une isométrie et ont nécessairement le même volume. Par exemple, deux cubes identiques sont congruents et, par conséquent, équivalents.
  
• Équivalence : deux solides équivalents ont le même volume, même si leurs formes ou leurs dimensions sont différentes. Par exemple, un cube et un cylindre de même volume sont équivalents, mais ne sont pas congruents.
  

La différence essentielle est donc simple : deux solides congruents ont la même forme et les mêmes dimensions, ce qui implique qu'ils ont aussi le même volume. Deux solides équivalents, en revanche, ont seulement le même volume. Leur forme et leurs dimensions peuvent être différentes.

Ainsi, lorsque deux solides sont dits « équivalents », cela ne signifie ni qu'ils ont la même apparence ni qu'ils sont superposables. Cela signifie simplement qu'ils occupent le même volume.

Remarques

Quelques propriétés permettent de mieux comprendre et d'utiliser la notion d'équivalence entre solides.

• L'addition ou la soustraction de solides de même volume conserve l'équivalence
  Partons de deux solides de même volume. Si l'on ajoute à chacun un solide de même volume, les deux solides obtenus ont encore le même volume. De même, si l'on retranche de chacun des parties de même volume, les solides restants demeurent équivalents, à condition que ces soustractions soient géométriquement possibles.
  

  Exemple. Imaginons deux cubes identiques auxquels on retire deux pyramides de même volume. Les solides restants ont alors le même volume. Si l'on ajoute ensuite à chacun d'eux un cylindre de même volume, les deux solides obtenus conservent le même volume et restent donc équivalents.

• Principe d'exclusion
  Si la comparaison porte exclusivement sur le volume, deux solides A et B se trouvent nécessairement dans l'une des trois situations suivantes :
  • A et B sont équivalents : $ A \doteq B $, c'est-à-dire qu'ils ont le même volume.
  • Le volume de A est supérieur à celui de B : $ A > B $.
  • Le volume de A est inférieur à celui de B : $ A < B $.
  Ces trois cas s'excluent mutuellement.

  Remarque. Cette classification en trois cas, égalité, supériorité ou infériorité, est parfaitement définie lorsque la comparaison porte sur une grandeur numérique unique, ici le volume. Les volumes de deux solides peuvent en effet toujours être comparés. En revanche, dès que l'on prend en compte plusieurs propriétés à la fois, la comparaison devient plus complexe. Des critères tels que le volume, la symétrie, la complexité géométrique, la valeur esthétique ou la fonction ne permettent pas nécessairement d'établir un ordre unique et cohérent. Par exemple, un cube de marbre et un cube de bois peuvent avoir le même volume tout en différant considérablement par leur masse, leur masse volumique, leur coût, leur durabilité ou leur usage. De même, une sphère et un cube de même volume diffèrent notamment par leur aire totale, leurs propriétés aérodynamiques et leur stabilité. Ces caractéristiques dépassent la seule comparaison des volumes. Ramener l'ensemble de ces différences à un critère unique reviendrait donc à simplifier arbitrairement une comparaison qui, dans un contexte plus général, fait intervenir plusieurs grandeurs ou propriétés distinctes.

• Postulat de De Zolt
  Le postulat de De Zolt exprime, dans le cadre de la géométrie des grandeurs, qu'un solide ne peut pas être équivalent à l'une de ses parties propres. Autrement dit, un solide ne peut pas avoir le même volume qu'une partie strictement contenue en lui.
• Principe de Cavalieri
  Si deux solides ont la même hauteur et si, à toute hauteur donnée, leurs sections par des plans parallèles à un même plan ont la même aire, alors ces deux solides ont le même volume.

Et ainsi de suite.