Cône

Un cône de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle ABC autour de l'un des côtés de l'angle droit. Ce côté devient alors l'axe de rotation.

Le côté choisi comme axe de rotation détermine la hauteur du cône.

L'autre côté de l'angle droit détermine le rayon de la base, tandis que l'hypoténuse engendre la surface latérale et correspond à une génératrice du cône.

Le cône est constitué d'une base circulaire et d'une surface latérale qui se resserre progressivement jusqu'à un point appelé sommet.

Le sommet est le point commun à toutes les génératrices du cône. Il se trouve à l'opposé de la base.

Avec la sphère et le cylindre de révolution, le cône de révolution appartient à la famille des solides de révolution.

En géométrie élémentaire, le terme « cône » désigne le plus souvent un cône de révolution, c'est-à-dire un cône dont la base est un disque et dont l'axe passe par le centre de cette base en lui étant perpendiculaire. Dans un cadre plus général, le terme « cône » peut également désigner des surfaces coniques qui ne sont pas nécessairement des surfaces de révolution. On rencontre notamment des cônes elliptiques et des cônes obliques. Le cône de révolution ne constitue donc qu'un cas particulier de la notion générale de cône. Dans un cône oblique, par exemple, la projection orthogonale du sommet sur le plan de la base ne coïncide pas avec le centre de celle-ci.

Formules du cône

Pour étudier un cône de révolution, on utilise principalement trois grandeurs : le rayon \( r \) de la base, la hauteur \( h \) et la longueur \( a \) de la génératrice.

L'aire latérale du cône est donnée par la formule :

$$ S_L = \pi r \cdot a $$

où \( r \) désigne le rayon de la base et \( a \) la longueur d'une génératrice.

Aire de la base

La base du cône étant un disque de rayon \( r \), son aire se calcule à l'aide de la formule habituelle de l'aire d'un disque :

$$ S_B = \pi r^2 $$

Aire totale

L'aire totale du cône correspond à la somme de l'aire latérale et de l'aire de la base :

$$ S_T = S_L + S_B $$

En remplaçant \( S_L \) et \( S_B \) par leurs expressions respectives :

$$ S_T = \pi r a + \pi r^2 $$

On peut alors mettre \( \pi r \) en facteur :

$$ S_T = \pi r (a + r) $$

Volume du cône

Le volume d'un cône est égal au tiers du volume d'un cylindre ayant la même base et la même hauteur :

$$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $$

Remarque. Plus généralement, le volume d'un cône, comme celui d'une pyramide, est égal au tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur :
$$ V = \frac{1}{3} A h = \frac{1}{3} \pi r^2 h $$

Les différents types de cônes

Tous les cônes n'ont pas exactement la même forme. On peut les distinguer selon la géométrie de leurs sections et la position de leur sommet par rapport à la base.

• Cône de révolution
  C'est le cône classique étudié en géométrie élémentaire. Sa base est circulaire, son axe passe par le centre de la base et lui est perpendiculaire. Toutes ses génératrices ont la même longueur.
• Cône circulaire oblique
  Sa base est circulaire, mais le sommet ne se trouve pas sur la droite perpendiculaire au plan de la base passant par son centre. Il ne s'agit donc pas d'un solide de révolution.
• Cône elliptique
  Il s'agit d'une surface conique dont les sections par certains plans parallèles sont des ellipses. En géométrie analytique, le cône elliptique constitue un cas important de quadrique conique.
• Cône quadratique
  Plus généralement, une équation homogène du second degré à trois variables peut définir une surface conique appelée cône quadratique. Selon les coefficients de l'équation et le repère choisi, cette surface peut notamment prendre la forme d'un cône elliptique ou, dans un cas particulier, d'un cône circulaire.

La terminologie varie donc selon le contexte. En géométrie élémentaire, on étudie surtout le cône de révolution. En géométrie analytique, la notion de cône est plus générale et englobe différentes surfaces coniques définies par des équations du second degré.

Le cône en géométrie analytique

En géométrie analytique, une surface conique peut être décrite par une équation en coordonnées cartésiennes dans l'espace. Certains cônes appartiennent à la famille des quadriques, c'est-à-dire des surfaces définies par une équation du second degré.

Équation d'un cône elliptique

Un cône elliptique dont le sommet est situé à l'origine et dont l'axe coïncide avec l'axe \( z \) peut être décrit par l'équation :

$$ \left( \frac{x}{a} \right)^2 + \left( \frac{y}{b} \right)^2 - \left( \frac{z}{c} \right)^2 = 0 $$

où \( a \), \( b \) et \( c \) sont des constantes strictement positives. Les variables \( x \), \( y \) et \( z \) représentent les coordonnées d'un point de la surface dans l'espace.

Lorsque \( a=b \), les sections obtenues par des plans perpendiculaires à l'axe \( z \) sont des cercles. On obtient alors un cône de révolution.

Équation d'un cône de révolution

Pour un cône de révolution dont le sommet est situé à l'origine et dont l'axe coïncide avec l'axe \( z \), on peut écrire :

$$ x^2 + y^2 = z^2 \cdot \left( \frac{r}{h} \right)^2 $$

où \( r \) est le rayon de la section circulaire située dans le plan \( z=h \). Le rapport \( r/h \) détermine le demi-angle au sommet du cône et, par conséquent, son ouverture.

Cette équation décrit une surface conique de sommet \( (0, 0, 0) \) et d'axe de révolution \( z \). Son intersection avec le plan \( z=h \) est un cercle de rayon \( r \).

En l'absence de restriction supplémentaire sur \( z \), cette équation représente un cône à deux nappes. Les deux nappes sont symétriques par rapport au plan \( xy \) et s'étendent indéfiniment dans les directions positive et négative de l'axe \( z \).

Pour ne conserver qu'une seule nappe, il suffit d'imposer une condition supplémentaire. Par exemple, la condition \( z > 0 \) sélectionne la nappe située du côté positif de l'axe \( z \).

Remarque : l'équation d'un cône dépend de son orientation et de la position de son sommet. Un changement de repère ou une adaptation de l'équation standard permet de décrire des cônes dont l'axe coïncide avec l'axe \( x \) ou l'axe \( y \), ainsi que des cônes dont le sommet n'est pas situé à l'origine.

Surface conique de révolution

Considérons une surface conique de révolution dont le sommet est situé à l'origine, dont l'axe coïncide avec l'axe \( z \) et dont le demi-angle au sommet est \( \delta \). Son équation est :

$$ x^2 + y^2 - k^2 z^2 = 0 $$

où \( k^2 = \tan^2 \delta \).

Si l'axe de révolution coïncide avec l'axe \( x \), l'équation devient :

$$ y^2 + z^2 - k^2 x^2 = 0 $$

Si l'axe de révolution coïncide avec l'axe \( y \), on obtient :

$$ x^2 + z^2 - k^2 y^2 = 0 $$

Dans tous les cas :

$$ k^2 = \tan^2 \delta $$

Démonstration

Considérons une droite \( r \) passant par l'origine \( O \) et formant un angle \( \delta \) avec l'axe \( y \).

Cette droite est une génératrice de la surface conique. En tournant autour de l'axe \( y \), elle engendre l'ensemble de la surface.

Soit \( P(x, y, z) \) un point de la génératrice \( r \), et soit \( H \) sa projection orthogonale sur l'axe \( y \).

Dans le triangle rectangle \( OPH \), l'angle en \( O \) est égal à \( \delta \). Les relations trigonométriques donnent :

$$ OH = |OP| \cdot \cos \delta \qquad PH = |OP| \cdot \sin \delta $$

Si l'on choisit \( |OP| = 1 \), on obtient :

$$ OH = \cos \delta \qquad PH = \sin \delta $$

On en déduit :

$$ \tan \delta = \frac{PH}{OH} = \frac{\sin \delta}{\cos \delta} $$

Comme \( OH = |y| \), il vient :

$$ \tan \delta = \frac{PH}{|y|} $$

Le segment \( PH \) représente la distance du point \( P \) à l'axe \( y \). Ses composantes dans le plan \( xz \) permettent d'écrire :

$$ x^2 + z^2 = PH^2 $$

On a donc :

$$ PH = \sqrt{x^2 + z^2} $$

En remplaçant \( PH \) dans l'expression précédente :

$$ \tan \delta = \frac{\sqrt{x^2 + z^2}}{|y|} $$

En élevant les deux membres au carré :

$$ \tan^2 \delta = \frac{x^2 + z^2}{y^2} $$

Puis en réarrangeant l'équation :

$$ x^2 + z^2 - y^2 \tan^2 \delta = 0 $$

Enfin, en posant :

$$ k^2 = \tan^2 \delta $$

on obtient :

$$ x^2 + z^2 - k^2 y^2 = 0 $$

Il s'agit bien de l'équation d'une surface conique de révolution dont le sommet est situé à l'origine et dont l'axe coïncide avec l'axe \( y \).

Remarques complémentaires

Quelques notions supplémentaires permettent de compléter l'étude géométrique du cône.

• Cône équilatéral
  Un cône de révolution est dit équilatéral lorsque la longueur de sa génératrice \( a \) est égale au diamètre de sa base : $$ a = 2r $$ Dans ce cas, sa section axiale est un triangle équilatéral.
• Tronc de cône
  Un tronc de cône s'obtient en coupant un cône par un plan parallèle à sa base, puis en considérant la partie comprise entre la base et le plan de section. Dans le cas d'un cône de révolution, le solide obtenu possède deux bases circulaires parallèles de rayons différents.
• Coniques
  Lorsqu'un plan coupe un cône de révolution à deux nappes, la courbe obtenue dépend de la position et de l'inclinaison du plan. Ces courbes sont appelées coniques. On obtient notamment le cercle, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole.

Et ainsi de suite…