La géométrie dans l'espace

La géométrie dans l'espace étudie les figures et les relations géométriques en trois dimensions. L'espace comprend une infinité de points, de droites et de plans. De manière intuitive, on peut le considérer comme le cadre dans lequel se situent les solides géométriques.

En géométrie euclidienne, le terme « espace » désigne généralement l'espace euclidien à trois dimensions. Un point peut alors être repéré à l'aide de trois coordonnées (x, y, z). Cette précision est importante, car en mathématiques, la notion d'espace ne se limite pas à trois dimensions et peut être généralisée à des espaces de dimension quelconque.

Tout solide géométrique, comme un cube, un parallélépipède rectangle ou une sphère, peut être considéré comme un ensemble de points de l'espace. Dans le cas des polyèdres, chacune des faces est contenue dans un plan.

La branche de la géométrie qui étudie les propriétés des points, des droites, des plans et des solides dans l'espace est appelée géométrie dans l'espace.

Remarque : Les solides géométriques sont des objets tridimensionnels caractérisés par trois dimensions. Contrairement aux figures planes, qui sont bidimensionnelles, ils occupent une portion de l'espace et possèdent notamment un volume. Leur étude porte sur leur forme, leurs dimensions et leurs propriétés géométriques.

En géométrie analytique, l'espace euclidien tridimensionnel est généralement muni d'un repère cartésien (x, y, z). Dans ce repère, la position de chaque point est déterminée par trois coordonnées.

Prenons l'exemple d'un cube. Il s'agit d'un polyèdre délimité par six faces carrées. Dans un repère cartésien, chacun de ses sommets peut être défini par un triplet de coordonnées.

Les six faces d'un cube sont contenues dans six plans distincts. Les plans contenant deux faces adjacentes sont perpendiculaires, tandis que ceux contenant deux faces opposées sont parallèles.

 

Pour représenter un cube dans un repère cartésien, on peut, par exemple, attribuer à certains de ses sommets les coordonnées (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), entre autres.

Les droites dans l'espace

Dans l'espace, deux droites peuvent être coplanaires, c'est-à-dire appartenir à un même plan, ou ne pas l'être.

Lorsque deux droites sont contenues dans un même plan, elles sont dites coplanaires. Elles peuvent alors être sécantes, lorsqu'elles ont un unique point commun, ou parallèles, lorsqu'elles sont distinctes et n'ont aucun point commun.

Deux droites non coplanaires sont appelées droites gauches. Elles ne sont ni parallèles ni sécantes.

Pourquoi deux droites gauches ne peuvent-elles pas se couper ? Par définition, deux droites gauches ne sont contenues dans aucun même plan. Raisonnons par l'absurde et supposons que deux droites gauches r₁ et r₂ possèdent un point commun P.

Choisissons un point A sur la droite r₁ et un point B sur la droite r₂, tous deux distincts de P. Les trois points P, A et B ne sont pas alignés et déterminent donc un plan unique β. Ce plan contient la droite passant par P et A, c'est-à-dire r₁, ainsi que la droite passant par P et B, c'est-à-dire r₂. Les deux droites seraient donc coplanaires, ce qui contredit l'hypothèse selon laquelle elles sont gauches. Par conséquent, deux droites sécantes sont nécessairement coplanaires et ne peuvent donc pas être gauches.

Les plans dans l'espace

L'espace contient une infinité de plans. Deux plans distincts peuvent occuper deux positions relatives : ils sont soit parallèles, soit sécants.

• Plans parallèles
  Deux plans distincts sont parallèles lorsqu'ils n'ont aucun point commun. Dans l'espace euclidien, la distance entre deux plans parallèles est constante. Les planchers de différents étages d'un bâtiment en donnent une représentation intuitive, à condition qu'ils soient parfaitement horizontaux et qu'aucune déformation de la structure ne soit prise en compte.
  
• Plans sécants
  Deux plans distincts qui ne sont pas parallèles sont sécants. Leur intersection est alors une droite.
  

Dans l'espace tridimensionnel, deux plans distincts ne peuvent donc pas avoir un seul point commun. S'ils se coupent, leur intersection est nécessairement une droite (démonstration).

Si l'on considère la relation « être parallèle ou confondu » entre deux plans, celle-ci possède trois propriétés importantes :

• Réflexive
  Tout plan est confondu avec lui-même et est donc parallèle à lui-même au sens large.
• Symétrique
  Si le plan A est parallèle ou confondu avec le plan B, alors le plan B est parallèle ou confondu avec le plan A.
• Transitive
  Si le plan A est parallèle ou confondu avec le plan B et que le plan B est parallèle ou confondu avec le plan C, alors le plan A est parallèle ou confondu avec le plan C.

Une droite peut également occuper différentes positions par rapport à un plan. Dans l'espace tridimensionnel, on distingue trois cas :

• Droite contenue dans le plan
  La droite est entièrement contenue dans le plan : tous ses points appartiennent à ce plan.
  
• Droite sécante au plan
  La droite et le plan ont un unique point commun.
  
• Droite parallèle au plan
  La droite n'est pas contenue dans le plan et n'a aucun point commun avec lui.
  

Ces différentes positions relatives sont essentielles pour comprendre et étudier la géométrie dans l'espace.

Postulats fondamentaux de la géométrie dans l'espace

Les relations entre les points, les droites et les plans reposent sur plusieurs propriétés fondamentales de l'espace euclidien :

• Par trois points distincts et non alignés passe un plan unique.
  
• Si deux points distincts appartiennent à un plan, alors la droite passant par ces deux points est entièrement contenue dans ce plan.
  
• Postulat de séparation de l'espace par un plan
  Un plan partage l'ensemble des points de l'espace qui ne lui appartiennent pas en deux régions appelées demi-espaces. Le plan constitue la frontière commune de ces deux demi-espaces.
  
  Si deux points A et B se trouvent dans des demi-espaces opposés, le segment AB coupe le plan en un point. En revanche, si deux points C et D appartiennent au même demi-espace, le segment CD ne rencontre pas le plan.

Remarques complémentaires

La notion d'espace ne se limite pas à la géométrie. Elle joue également un rôle essentiel en physique, mais avec une signification différente.

• L'espace en physique
  En physique, la notion d'espace occupe une place fondamentale dans les théories de la relativité. Avec la relativité restreinte d'Albert Einstein, l'espace et le temps ne sont plus envisagés comme deux cadres absolus et indépendants, mais comme les composantes d'une même structure quadridimensionnelle appelée espace-temps. Cette théorie permet notamment de rendre compte de la dilatation des durées et de la contraction des longueurs pour des observateurs en mouvement relatif à des vitesses proches de celle de la lumière. En relativité générale, la gravitation est décrite par la courbure de l'espace-temps, elle-même liée à la distribution de matière et d'énergie. Ces notions relèvent toutefois de la physique relativiste et ne doivent pas être confondues avec l'espace euclidien étudié en géométrie classique.

Et ainsi de suite.