Plan
Un plan est une notion fondamentale de la géométrie. Il s'agit d'une surface à deux dimensions, caractérisée par la longueur et la largeur.
Un plan s'étend indéfiniment dans toutes les directions. Il ne possède ni épaisseur ni frontières.
Par convention, on le note généralement à l'aide d'une lettre de l'alphabet grec, comme α, β, γ ou δ.
Lorsqu'un point ou une droite est situé sur un plan, on dit qu'il ou elle appartient à ce plan.
Par exemple, la droite r appartient au plan α.
Définition d'un plan
Un plan est entièrement déterminé par trois points non alignés (A, B, C). Autrement dit, par trois points non colinéaires passe un unique plan α.
On peut également définir un plan à partir d'une droite et d'un point qui ne lui appartient pas.
Étant donnés une droite r et un point P extérieur à celle-ci, il existe un unique plan α qui les contient tous deux.
Enfin, un plan peut aussi être déterminé par deux droites sécantes.
Deux droites sécantes r et s déterminent un unique plan α.
Demi-plan
Un demi-plan est une partie d'un plan délimitée par une droite.
Lorsqu'on trace une droite dans un plan, celui-ci est divisé en deux régions distinctes. Chacune de ces régions est un demi-plan.
Plans sécants et plans parallèles
Selon leur position dans l'espace, deux plans distincts peuvent être sécants ou parallèles.
- Plans sécants
Deux plans sont dits sécants lorsqu'ils ont exactement une droite en commun.
Théorème. Si deux plans distincts $ \alpha $ et $ \beta $ possèdent un point commun $ P \in \alpha \cap \beta $, alors ils admettent une droite commune $ r $ passant par ce point. $$ \exists \ r \ | \ P \in r, \ r \subset \alpha \cap \beta $$
- Plans parallèles
Deux plans sont parallèles s'ils n'ont aucun point en commun ou s'ils coïncident en tous leurs points.
La distance entre deux plans parallèles est la longueur du segment perpendiculaire aux deux plans reliant un point de chacun d'eux.
La relation de parallélisme entre plans possède les propriétés réflexive, symétrique et transitive.
- Propriété réflexive
Tout plan est parallèle à lui-même. $$ \alpha || \alpha $$ - Propriété symétrique
Si le plan α est parallèle au plan β, alors le plan β est parallèle au plan α. $$ \alpha || \beta \Leftrightarrow \beta || \alpha $$ - Propriété transitive
Si le plan α est parallèle au plan β et le plan β est parallèle au plan γ, alors le plan α est parallèle au plan γ. $$ \alpha || \beta \ , \ \beta || \gamma \Rightarrow \alpha || \gamma $$
Position d'une droite par rapport à un plan
Une droite peut se situer par rapport à un plan selon plusieurs configurations :
- Droite coplanaire (ou contenue dans le plan)
La droite est entièrement contenue dans le plan. Tous ses points lui appartiennent, donc r⋂α=r.
- Droite sécante
La droite et le plan ont exactement un point commun : r⋂α={P}. Une droite sécante peut être perpendiculaire ou oblique au plan.
- Droite perpendiculaire à un plan
Une droite est dite perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à toutes les droites du plan passant par le point d'intersection, appelé pied de la perpendiculaire.
- Droite oblique
Une droite est dite oblique lorsqu'elle n'est pas perpendiculaire au plan.
- Droite perpendiculaire à un plan
- Droite parallèle à un plan
La droite n'a aucun point en commun avec le plan : r⋂α=Ø.
Si une droite \( r \) est parallèle à un plan \( \alpha \), tout plan \( \beta \) contenant \( r \) et non parallèle à \( \alpha \) coupe ce dernier suivant une droite \( s \), parallèle à \( r \).
Cela s'explique par le fait que les droites \( r \) et \( s \), coplanaires dans le plan \( \beta \), ne se rencontrent jamais.
Et ainsi de suite.
