Distance d’une droite à un plan parallèle

La distance $ d $ entre une droite $ r $ et un plan parallèle $ \pi $ se calcule en choisissant un point $ P $ sur la droite, puis en projetant ce point orthogonalement sur le plan.
projection orthogonale d’un point d’une droite sur un plan parallèle

La formule utilisée est celle de la distance d’un point à un plan. Pour un point $ P(x_0, y_0, z_0) $ et un plan d’équation cartésienne $ ax + by + cz + d = 0 $, on a :

$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Cette formule donne directement la distance perpendiculaire entre le point $ P $ et le plan $ \pi $. Comme la droite $ r $ est parallèle au plan, cette distance est la même pour tous les points de la droite. Il suffit donc d’en choisir un seul pour effectuer le calcul.

distance constante entre une droite et un plan parallèle

Exemple

Considérons le plan $ \pi $ d’équation :

$$ 2x - 3y + 6z + 9 = 0 $$

et la droite $ r $ définie par :

$$ x = 13 + 3t $$

$$ y = 2t $$

$$ z = 0 $$

Pour vérifier que la droite est bien parallèle au plan, on calcule le produit scalaire entre le vecteur normal du plan $ (2, -3, 6) $ et un vecteur directeur de la droite $ (3, 2, 0) $ :

$$ 2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 + 6 \cdot 0 = 0 $$

Le produit scalaire est nul, ce qui confirme que la droite est parallèle au plan.

On choisit ensuite un point de la droite. En prenant $ t = 0 $, on obtient le point $ (13, 0, 0) $. On applique alors la formule :

$$ d = \frac{|2(13) - 3(0) + 6(0) + 9|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} $$

$$ d = \frac{|26 + 9|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} $$

$$ d = \frac{35}{\sqrt{49}} $$

$$ d = \frac{35}{7} = 5 $$

La distance entre la droite $ r $ et le plan $ \pi $ est donc égale à 5.

distance entre une droite et un plan parallèle dans l’espace

Cette méthode s’applique de la même manière dans tous les cas où une droite est parallèle à un plan.