Plans parallèles

Deux plans de l'espace sont dits parallèles lorsqu'ils ne se rencontrent jamais ou, au contraire, lorsqu'ils coïncident parfaitement.

Aucun point commun : les deux plans ne se coupent jamais. On parle alors de plans parallèles distincts.
Tous les points en commun : les deux plans se superposent exactement. Ce sont alors des plans confondus.

visualisation de deux plans parallèles dans l'espace

Un exemple simple consiste à considérer les planchers de deux étages d'un bâtiment. S'ils sont parfaitement horizontaux, ils forment deux plans parallèles distincts.

Distance entre deux plans parallèles
Propriétés essentielles
Condition de parallélisme
À retenir

Distance entre deux plans parallèles

La distance entre deux plans parallèles distincts correspond à la longueur du segment perpendiculaire qui relie un point de l'un des plans à l'autre plan.

illustration de la distance entre deux plans parallèles

Un point important est que cette distance est toujours la même, quel que soit le point choisi sur les plans.

Calcul de la distance

En géométrie analytique, deux plans parallèles peuvent s'écrire :

$$ Ax + By + Cz + D_1 = 0 $$

$$ Ax + By + Cz + D_2 = 0 $$

La distance entre ces deux plans est donnée par la formule :

$$ d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $$

où $ A, B, C $ sont les composantes du vecteur normal commun aux deux plans.

Remarque : si $ d = 0 $, les plans sont confondus. Si $ d > 0 $, ils sont distincts mais parallèles.

Exemple

Considérons les deux plans :

$$ 2x + 3y + 6z + 4 = 0 $$

$$ 2x + 3y + 6z - 8 = 0 $$

Appliquons la formule :

$$ d = \frac{| -8 - 4 |}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}} = \frac{12}{\sqrt{4+9+36}} = \frac{12}{\sqrt{49}} = \frac{12}{7} \approx 1.71 $$

La distance entre ces deux plans est donc d'environ 1,71 unités.

exemple de calcul de distance entre deux plans parallèles

Propriétés essentielles

Le parallélisme des plans possède trois propriétés fondamentales :

Réflexivité : tout plan est parallèle à lui-même. $$ \alpha \parallel \alpha $$
Symétrie : si un plan $\alpha$ est parallèle à $\beta$, alors $\beta$ est parallèle à $\alpha$. $$ \alpha \parallel \beta \Rightarrow \beta \parallel \alpha $$
Transitivité : si $\alpha$ est parallèle à $\beta$ et $\beta$ à $\gamma$, alors $\alpha$ est parallèle à $\gamma$. $$ \alpha \parallel \beta,\ \beta \parallel \gamma \Rightarrow \alpha \parallel \gamma $$

Ces propriétés montrent que le parallélisme constitue une véritable relation d'équivalence en géométrie.

Condition de parallélisme

Soient deux plans d'équations : $$ ax+by+cz+d = 0 $$ $$ a'x+b'y+c'z+d' = 0 $$ Ils sont parallèles si $$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} $$ Ils sont confondus si $$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = \frac{d}{d'} $$

Les coefficients $ a, b, c $ et $ a', b', c' $ définissent les vecteurs normaux :

$$ \vec{n} = (a, b, c), \quad \vec{n'} = (a', b', c') $$

Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. Cela signifie qu'il existe un réel $ k $ tel que :

$$ (a, b, c) = k \, (a', b', c') $$

Ce qui revient à écrire :

$$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = k $$

Important. Si un coefficient du second plan est nul, le coefficient correspondant du premier doit aussi être nul pour que la proportionnalité soit vérifiée :

Si $ a' = 0 $, alors $ a = 0 $
Si $ b' = 0 $, alors $ b = 0 $
Si $ c' = 0 $, alors $ c = 0 $

Dans ce cas, la comparaison se fait uniquement avec les coefficients non nuls.

Quand deux plans sont-ils confondus ?

Deux plans :

$$ a x + b y + c z + d = 0 $$

$$ a' x + b' y + c' z + d' = 0 $$

sont confondus s'il existe un réel $ k \neq 0 $ tel que :

$$ (a, b, c, d) = k \cdot (a', b', c', d') $$

Autrement dit :

$$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = \frac{d}{d'} = k $$

Remarque. Si un dénominateur est nul, le numérateur correspondant doit également être nul.

Exemple

Considérons :

$$ 3x + 6y - 9z + 12 = 0 $$

$$ x + 2y - 3z + 4 = 0 $$

Calculons les rapports :

$$ \frac{3}{1} = 3, \quad \frac{6}{2} = 3, \quad \frac{-9}{-3} = 3 $$

Les vecteurs normaux sont colinéaires, donc les plans sont parallèles.

Remarque. Les vecteurs normaux sont : $$ \vec{n} = (3, 6, -9), \quad \vec{n'} = (1, 2, -3) $$ Un vecteur normal est perpendiculaire au plan.
illustration d'un vecteur normal à un plan

Vérifions maintenant les constantes :

$$ \frac{12}{4} = 3 $$

On obtient :

$$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = \frac{d}{d'} = 3 $$

Les deux plans sont donc confondus.

À retenir

Deux plans parallèles ne se coupent jamais ou coïncident.
La distance entre deux plans parallèles est constante.
Le parallélisme se vérifie à partir des vecteurs normaux.

Ces notions sont fondamentales pour comprendre la géométrie de l'espace et les relations entre objets géométriques.