Équation d’un plan dans l’espace

L’équation d’un plan permet de décrire tous les points (x, y, z) appartenant à un même plan dans l’espace tridimensionnel. Sa forme générale est la suivante : $$ ax + by + cz + d = 0 $$ où $a$, $b$ et $c$ sont les composantes d’un vecteur normal au plan, et $d$ est une constante réelle qui en fixe la position dans l’espace.

Cette équation est un outil essentiel en géométrie analytique. Elle permet de représenter simplement une surface plane dans un repère tridimensionnel.

Un plan est donc l’ensemble des points qui vérifient cette équation générale, également appelée forme implicite.

$$ ax + by + cz + d = 0 $$

Dans certains cas, il est plus pratique d’utiliser une autre écriture, appelée forme explicite :

$$ z = mx + ny + q $$

Remarque : le vecteur normal $\vec{n} = (a, b, c)$ est perpendiculaire au plan. Cela signifie qu’il est orthogonal à toute direction contenue dans ce plan.

Exemple

Considérons l’équation :

$$ 2x - 3y + 4z - 5 = 0 $$

Tout point $(x, y, z)$ qui vérifie cette relation appartient au plan.

Le vecteur normal associé est $\vec{n} = (2, -3, 4)$.

Par conséquent, tout vecteur contenu dans le plan est orthogonal à ce vecteur normal.

Passer à la forme explicite

La forme explicite de l’équation d’un plan s’écrit $$ z = m x + n y + q $$

On part généralement de la forme générale :

$a x + b y + c z + d = 0$

Cette écriture est compacte, mais elle ne met pas toujours en évidence le rôle de chaque variable.

Lorsque $c \ne 0$, on peut isoler $z$ pour obtenir une expression plus lisible :

$$ c z = -a x - b y - d $$

$$ z = - \frac{a}{c} x - \frac{b}{c} y - \frac{d}{c} $$

En posant $m = -\frac{a}{c}$, $n = -\frac{b}{c}$ et $q = -\frac{d}{c}$, on obtient :

$$ z = m x + n y + q $$

Cette écriture permet de visualiser directement comment la coordonnée $z$ dépend de $x$ et de $y$.

À retenir : la forme explicite n’est possible que si le plan n’est pas parallèle à l’axe $z$. Si $c = 0$, l’équation devient $$ a x + b y + d = 0 $$ Dans ce cas, la variable $z$ disparaît et le plan est parallèle à l’axe $z$.

Exemple

Considérons :

$$ 2x - 3y + 4z + 5 = 0 $$

Ici, $c = 4 \ne 0$, donc :

$$ z = -\frac{2}{4}x + \frac{3}{4}y - \frac{5}{4} $$

$$ z = -0.5x + 0.75y - 1.25 $$

Cette forme est particulièrement utile pour tracer le plan ou analyser son comportement.

Exemple 2

Considérons maintenant :

$x + 2y + 5 = 0$

Ici, $c = 0$. La variable $z$ n’apparaît pas, ce qui signifie que le plan est parallèle à l’axe $z$. Il est donc impossible de l’écrire sous forme explicite.

Plan passant par un point donné

Si l’on connaît un point $P_0(x_0, y_0, z_0)$ et un vecteur normal $\vec{n} = (a, b, c)$, alors l’équation du plan passant par ce point est : $$ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 $$

Exemple

Soit $P = (1, 2, 3)$ et $\vec{n} = (2, -1, 4)$.

L’équation du plan est :

$$ 2(x - 1) - 1(y - 2) + 4(z - 3) = 0 $$

En développant :

$$ 2x - 2 - y + 2 + 4z - 12 = 0 $$

$$ 2x - y + 4z - 12 = 0 $$

On obtient ainsi l’équation cartésienne du plan passant par $P$ et de vecteur normal $\vec{n}$.

Distance d’un point à un plan

Soit un plan $ax + by + cz + d = 0$ et un point $P(x_1, y_1, z_1)$. La distance entre ce point et le plan est donnée par : $$ \text{Distance} = \frac{|a x_1 + b y_1 + c z_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Exemple

Calculons la distance entre $P = (1, 1, 1)$ et le plan $x + y + z - 3 = 0$ :

$$ \text{Distance} = \frac{|1 + 1 + 1 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{0}{\sqrt{3}} = 0 $$

La distance est nulle, donc le point appartient au plan.

Plans particuliers dans l’espace

Certains plans présentent des formes particulières qui permettent de les identifier rapidement dans un repère cartésien.

Plans coordonnés

Lorsque l’équation ne fait intervenir qu’une seule variable, le plan coïncide avec l’un des plans coordonnés.

Les trois plans fondamentaux sont :

• Le plan Oyz, défini par $ x = 0 $
• Le plan Oxz, défini par $ y = 0 $
• Le plan Oxy, défini par $ z = 0 $

Ces plans correspondent aux plans formés par deux axes du repère.

Plans parallèles aux plans coordonnés

Si l’équation est de la forme $ x = k $, $ y = k $ ou $ z = k $, le plan est parallèle à l’un des plans coordonnés.

• Si $ x = k $, le plan est parallèle au plan Oyz
• Si $ y = k $, le plan est parallèle au plan Oxz
• Si $ z = k $, le plan est parallèle au plan Oxy

Ici, $ k $ est une constante réelle non nulle $ (k \ne 0) $.

Ces plans conservent la même orientation que les plans coordonnés, mais sont simplement déplacés le long de l’axe correspondant.

Plans à coefficient nul

Dans certains cas, l'équation d'un plan se simplifie lorsque l'un de ses coefficients est nul. Cette situation a une interprétation géométrique immédiate.

Partons de la forme générale :

$$ ax + by + cz + d = 0 $$

Selon le coefficient nul, la position du plan dans l'espace change :

• Si $ c = 0 $, l'équation devient $ ax + by + d = 0 $. Le plan est alors parallèle à l'axe $z$ et perpendiculaire au plan Oxy.

  Par exemple, le plan $ 3x + 4y + 0 \cdot z + 5 = 0 $, soit $ 3x + 4y + 5 = 0 $, est parallèle à l'axe $z$ et perpendiculaire au plan Oxy.
  

• Si $ b = 0 $, l'équation devient $ ax + cz + d = 0 $. Le plan est parallèle à l'axe $y$ et perpendiculaire au plan Oxz.

  Par exemple, le plan $ 3x + 0 \cdot y + 5z + 5 = 0 $, soit $ 3x + 5z + 5 = 0 $, est parallèle à l'axe $y$ et perpendiculaire au plan Oxz.
  

• Si $ a = 0 $, l'équation devient $ by + cz + d = 0 $. Le plan est parallèle à l'axe $x$ et perpendiculaire au plan Oyz.

  Par exemple, le plan $ 0 \cdot x + 4y + 5z + 5 = 0 $, soit $ 4y + 5z + 5 = 0 $, est parallèle à l'axe $x$ et perpendiculaire au plan Oyz.
  

Équations paramétriques d'un plan

Un plan peut aussi être décrit de manière plus flexible à l'aide d'une représentation paramétrique. Cette approche repose sur un point du plan et deux directions indépendantes qui le parcourent.

On écrit :

$$ \vec{r}(s,t) = P_0 + s \cdot \vec{v_1} + t \cdot \vec{v_2} $$

Ici, $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$ est un point du plan, $\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$ sont deux vecteurs directeurs non colinéaires, et $s, t \in \mathbb{R}$ sont des paramètres.

Exemple

Soit $P_0 = (1, 0, 2)$, $\vec{v_1} = (1, 1, 0)$ et $\vec{v_2} = (0, 2, 1)$.

Une représentation paramétrique du plan est :

$$ \vec{r}(s,t) = (1,0,2) + s(1,1,0) + t(0,2,1) $$

En coordonnées cartésiennes, cela correspond au système :

$$ \begin{cases} x = 1 + s \\ y = s + 2t \\ z = 2 + t \end{cases} $$

Chaque couple $(s,t)$ décrit un point du plan. Les paramètres sont donc libres.

Pour retrouver l'équation cartésienne, il faut éliminer ces paramètres.

De la première équation, on tire :

$s = x - 1$

De la troisième :

$t = z - 2$

On remplace ensuite dans l'expression de $y$ :

$$ y = (x - 1) + 2(z - 2) = x + 2z - 5 $$

On obtient ainsi une relation directe entre les coordonnées :

$$ y = x + 2z - 5 $$

En la réécrivant sous forme générale :

$$ x - y + 2z - 5 = 0 $$

Vérification : vérifions que le point $P_0 = (1, 0, 2)$ appartient bien au plan. En remplaçant dans $x - y + 2z - 5 = 0$ : $$ 1 - 0 + 2 \cdot 2 - 5 = 0 $$ L'égalité est vérifiée, donc le point appartient au plan.

Démonstration

Voyons maintenant comment on obtient l'équation générale d'un plan.

Considérons un plan $ \alpha $ qui ne passe pas par l'origine $ O(0, 0, 0) $.

On choisit un point $A = (a, b, c)$ appartenant au plan, de sorte que le vecteur $\vec{OA}$ soit normal au plan.

Soit maintenant un point quelconque $P = (x, y, z)$ appartenant au plan.

Le vecteur $\vec{AP}$ appartient au plan, donc il est orthogonal au vecteur normal $\vec{OA}$.

On a donc :

$$ \vec{OA} \cdot \vec{AP} = 0 $$

En coordonnées :

$$ \vec{OA} = (a, b, c), \quad \vec{AP} = (x - a, y - b, z - c) $$

Ce qui donne :

$$ a(x - a) + b(y - b) + c(z - c) = 0 $$

En développant :

$$ ax - a^2 + by - b^2 + cz - c^2 = 0 $$

$$ ax + by + cz - (a^2 + b^2 + c^2) = 0 $$

En posant $ d = - (a^2 + b^2 + c^2) $, on obtient :

$$ ax + by + cz + d = 0 $$

On retrouve ainsi l'équation cartésienne générale d'un plan.