Plans perpendiculaires

On appelle plans perpendiculaires deux plans sécants qui forment un angle dièdre droit, c'est-à-dire de 90°.

Autrement dit, lorsque deux plans sont perpendiculaires, l'angle dièdre qu'ils forment est exactement égal à 90°.

Dans cette configuration, l'espace est naturellement découpé en quatre dièdres droits.

On parle aussi de plans orthogonaux, une terminologie fréquemment utilisée en géométrie analytique.

Attention à ne pas confondre avec les plans obliques. Deux plans sont dits obliques lorsqu'ils se coupent sans former un angle droit, autrement dit lorsque leur angle dièdre est différent de 90°.

Lorsque deux plans sont perpendiculaires, ils engendrent en réalité quatre angles dièdres droits. Cela s'explique par le fait que les dièdres opposés sont congruents.

On peut ainsi retenir qu'un couple de plans perpendiculaires divise l'espace tridimensionnel en quatre régions identiques, chacune correspondant à un angle de 90°.

Comment vérifier si deux plans sont perpendiculaires

Pour déterminer si deux plans sont perpendiculaires, on ne se limite pas à une observation géométrique. On utilise une condition analytique fondée sur leurs vecteurs normaux.

Comme pour les droites, la perpendicularité dépend uniquement de l'orientation relative. Deux plans sont perpendiculaires si l'angle dièdre qu'ils forment est égal à 90°.

Soient deux plans donnés sous leur forme générale :
$$\pi_1: \ a x + b y + c z + d = 0 $$ $$ \pi_2: \ a' x + b' y + c' z + d' = 0 $$ ils sont perpendiculaires si, et seulement si, le produit scalaire de leurs vecteurs normaux est nul :
$$a \cdot a' + b \cdot b' + c \cdot c' = 0 $$

À chaque plan est associé un vecteur normal, c'est-à-dire un vecteur perpendiculaire au plan lui-même :

$$ \vec{n_1} = (a, b, c) $$

$$ \vec{n_2} = (a', b', c') $$

L'angle entre deux plans est égal à l'angle entre leurs vecteurs normaux.

Par conséquent, si le produit scalaire de ces vecteurs est nul, ils sont orthogonaux, ce qui garantit que les plans sont perpendiculaires.

Exemple

Considérons les deux plans suivants, exprimés sous forme générale :

$$ \pi_1: \ 2x + 3y + z - 5 = 0 $$

$$ \pi_2: \ 4x - 6y - 2z + 1 = 0 $$

Calculons le produit scalaire de leurs vecteurs normaux :

$$a \cdot a' + b \cdot b' + c \cdot c' $$

$$ (2, 3, 1) \cdot (4, -6, -2) = 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-6) + 1 \cdot (-2) = 8 - 18 - 2 = -12 $$

Le produit scalaire n'étant pas nul, les deux plans ne sont pas perpendiculaires.

Le cas des équations explicites

Lorsque les plans sont écrits sous forme explicite :
$$ \pi_1: \ z = m x + n y + q $$ $$ \pi_2: \ z = m' x + n' y + q' $$ la condition de perpendicularité devient :
$$ m \cdot m' + n \cdot n' = -1 $$

Cette relation rappelle celle utilisée pour tester la perpendicularité entre deux droites dans le plan $ xy $.

Ici, les coefficients $ m $ et $ n $ représentent les pentes du plan selon les directions des axes $ x $ et $ y $.

Exemple

Considérons les deux plans suivants :

$$ \pi_1: \ z = 2x + 3y + 1 $$

$$ \pi_2: \ z = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y + 4 $$

Vérifions s'ils sont perpendiculaires.

Dans la forme $ z = m x + n y + q $, la condition à tester est :

$$ m \cdot m' + n \cdot n' = -1 $$

Pour le premier plan, $ m = 2 $ et $ n = 3 $. Pour le second, $ m' = -\frac{1}{2} $ et $ n' = -\frac{1}{3} $.

$$ m \cdot m' + n \cdot n' = 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) + 3 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) = -1 + (-1) = -2 $$

Comme le résultat est différent de -1,

$$ m \cdot m' + n \cdot n' = -2 \neq -1 $$

les deux plans ne sont pas perpendiculaires.

Si l'on avait obtenu :
$$ m \cdot m' + n \cdot n' = -1 $$ alors ils auraient été perpendiculaires.

On procède de la même manière dans tous les cas.