Demi-plan
Un demi-plan est chacune des deux régions du plan délimitées par une droite, appelée « frontière du demi-plan ».
Lorsque l'on trace une droite dans un plan, celui-ci se divise naturellement en deux demi-plans opposés, situés de part et d'autre de la droite. Cette idée simple est fondamentale en géométrie, car elle permet de structurer l'espace et de distinguer différentes régions du plan.
Chaque demi-plan forme un ensemble infini de points. Parmi eux, on distingue les points intérieurs, c'est-à-dire ceux qui appartiennent au demi-plan sans se trouver sur sa frontière.
Remarque : en pratique, le terme « demi-plan » désigne l'une des deux régions définies par une droite. Selon le contexte, on précise si l'on inclut ou non les points de la droite qui sert de frontière.
Postulat de séparation du plan par une droite
La notion de demi-plan repose sur un principe fondamental de la géométrie, appelé postulat de séparation du plan par une droite.
Considérons une droite qui partage le plan en deux régions :
- Si deux points P et Q appartiennent à une même région, le segment qui les relie reste entièrement dans cette région et ne coupe pas la droite.
- Si deux points P et Q appartiennent à des régions différentes, alors le segment qui les relie traverse nécessairement la droite.
Tout ensemble de points qui vérifie ces propriétés est un demi-plan.
Types de demi-plans
On distingue généralement deux types de demi-plans :
- Demi-plan ouvert
Il n'inclut pas la droite qui le délimite. Seuls les points situés strictement à l'intérieur sont considérés. - Demi-plan fermé
Il inclut la droite frontière. Il comprend donc à la fois les points intérieurs et les points de la droite.
Dans le cas de deux demi-plans fermés, les points situés sur la droite frontière appartiennent aux deux demi-plans à la fois.
Et ainsi de suite.
