Faisceau de plans
Un faisceau de plans désigne une famille infinie de plans dépendant d'un paramètre réel. Selon la configuration, ces plans peuvent soit partager une même droite d'intersection, soit être tous parallèles entre eux. Cette notion permet de décrire simplement des ensembles de plans liés par une même structure géométrique.
Faisceau propre de plans
Étant donnée une droite \( r \), un faisceau propre de plans regroupe tous les plans qui contiennent cette droite. $$ \lambda_1 ( a_1x + b_1y + c_1z + d_1 ) + \lambda_2 ( a_2x + b_2y + c_2z + d_2 ) = 0 $$ $$ ( a_1x + b_1y + c_1z + d_1 ) + \frac{\lambda_2}{\lambda_1} ( a_2x + b_2y + c_2z + d_2 ) = 0 $$
Ces deux équations correspondent à deux plans distincts dont l'intersection est précisément la droite \( r \).
$$ \begin{cases} \lambda_1 ( a_1x + b_1y + c_1z + d_1 ) \\ \lambda_2 ( a_2x + b_2y + c_2z + d_2 ) \end{cases} $$
Exemple
Considérons une droite de l'espace définie comme l'intersection de deux plans :
$$ \begin{cases} 2x + 3y + 8z + 2 = 0 \\ -4x - 6y + 6z - 12 = 0 \end{cases} $$
L'ensemble des points qui vérifient simultanément ces deux équations forme la droite.
Tous les plans qui contiennent cette droite s'écrivent sous la forme :
$$ ( 2x + 3y + 8z + 2 ) + \frac{\lambda_2}{\lambda_1} ( -4x - 6y + 6z - 12 ) = 0 $$
où \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) sont des scalaires arbitraires, avec \(\lambda_1 \neq 0\).
En posant \( k = \lambda_2 / \lambda_1 \), on obtient une écriture plus simple :
$$ ( 2x + 3y + 8z + 2 ) + k ( -4x - 6y + 6z - 12 ) = 0 $$
Lorsque \( k \) varie dans \( \mathbb{R} \), cette équation décrit tous les plans du faisceau contenant la droite \( r \). Géométriquement, ces plans peuvent être vus comme pivotant autour de cette droite.
On obtient ainsi le faisceau propre de plans associé à la droite \( r \).
Faisceau impropre de plans
Étant donné un plan \( A \), un faisceau impropre de plans est constitué de tous les plans parallèles à \( A \). $$ ax + by + cz + d = 0 $$
Pour générer des plans parallèles, il suffit de faire varier le terme constant \( d \), tout en conservant les coefficients \( a, b, c \).
Ces coefficients ne peuvent pas être simultanément nuls, car ils définissent la direction normale du plan.
Exemple
Considérons le plan suivant :
$$ 2x + 3y + 8z + 2 = 0 $$
En remplaçant le terme constant par une valeur \( k \), on obtient toute une famille de plans parallèles :
$$ 2x + 3y + 8z + k = 0 $$
Par exemple, pour \( k = -12 \) et \( k = -25 \), on obtient les plans représentés ci-dessous :
En faisant varier \( k \), on obtient ainsi une infinité de plans parallèles entre eux.
