Intersection de deux plans

Lorsque deux plans distincts sont sécants dans l'espace en un point $P$, leur intersection est une droite $r$ passant par ce point.
intersection de deux plans sécants dans l'espace

Autrement dit, deux plans sécants ne peuvent pas se rencontrer en un unique point. Dès qu'ils ont un point en commun, ils partagent en réalité toute une droite.

Cette droite correspond à l'ensemble des points qui appartiennent simultanément aux deux plans.

Ce résultat est un classique de la géométrie de l'espace. Il traduit une propriété fondamentale, à savoir que l'intersection de deux plans distincts non parallèles forme toujours une droite.

Démonstration

Considérons deux plans $ \alpha $ et $ \beta $ sécants en un point $ P $.

$$ P \in \alpha \cap \beta $$

Cela signifie que le point $ P $ appartient à la fois au plan $ \alpha $ et au plan $ \beta $.

deux plans sécants en un point P

Choisissons maintenant deux points $A$ et $B$ appartenant au plan $ \alpha $, placés de part et d'autre du plan $ \beta $.

On considère alors le segment $ \overline{AB} $ qui relie les points $A$ et $B$.

points A et B situés de part et d'autre du plan β

Puisque les plans sont sécants, le segment $ \overline{AB} $ traverse les deux demi-espaces déterminés par $ \beta $. Il coupe donc nécessairement le plan $ \beta $ en un point $C$.

On dispose ainsi de deux points communs aux deux plans, le point $P$ et le point $C$.

point C appartenant à l'intersection des deux plans

Or, par deux points distincts passe une unique droite. Cette droite est ici contenue dans chacun des deux plans.

On en conclut que si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite $ r $ passant par le point $ P $.

Le théorème est ainsi démontré.