Distance d’un point à un plan de l’espace

La distance d’un point P à un plan est la longueur du segment perpendiculaire abaissé de P sur ce plan.

En pratique, cela signifie que l’on mesure la plus courte distance possible entre le point et le plan. Cette distance correspond toujours à un segment perpendiculaire.

Cette distance est toujours positive ou nulle. Elle est nulle si et seulement si le point appartient au plan.

Calcul de la distance d’un point à un plan

Soit un point $ P(x_0, y_0, z_0) $ et un plan α d’équation cartésienne $ ax + by + cz + d = 0 $. La distance minimale entre P et le plan α est donnée par la formule suivante :

$$ d(P, \alpha ) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Cette expression permet de calculer directement la distance à partir des coordonnées du point et des coefficients du plan.

Exemple

Considérons le point P de coordonnées (1; 3; 2) dans l’espace :

$$ P = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} $$

et le plan d’équation :

$$ 4x - 2y + z - 5 = 0 $$

On applique la formule :

$$ d(P, \alpha) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Avec les coefficients a = 4, b = -2, c = 1 et d = -5 :

$$ d(P, \alpha) = \frac{|4 \cdot x_0 - 2 \cdot y_0 + 1 \cdot z_0 - 5|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2 + 1^2}} $$

$$ d(P, \alpha) = \frac{|4 \cdot x_0 - 2 \cdot y_0 + z_0 - 5|}{\sqrt{21}} $$

En remplaçant x₀ = 1, y₀ = 3 et z₀ = 2 :

$$ d(P, \alpha) = \frac{|4 \cdot 1 - 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 - 5|}{\sqrt{21}} $$

$$ d(P, \alpha) = \frac{|-5|}{\sqrt{21}} $$

$$ d(P, \alpha) = \frac{5}{\sqrt{21}} \approx 1.09 $$

La distance entre le point P et le plan est donc d’environ 1.09.

Sur l’image suivante, cette distance correspond au segment rouge reliant le point P au plan.

Il s’agit toujours de la longueur du segment perpendiculaire abaissé du point sur le plan.

Remarques

Quelques propriétés utiles à retenir :

• Théorème
  Soit un plan \( \alpha \) et un point \( P \) situé en dehors de ce plan. Le segment perpendiculaire \( PH \) est toujours plus court que tout autre segment \( PQ \) reliant P à un point du plan.
  

  Démonstration. Les points P, H et Q forment un triangle rectangle en H. D’après le théorème de Pythagore, l’hypoténuse \( PQ \) est strictement plus grande que le côté \( PH \). On en déduit que \( PH \) est la distance minimale entre le point et le plan.

• Corollaire
  Si deux segments obliques issus de P ont des projections orthogonales de même longueur sur le plan, alors ces segments sont de même longueur, et réciproquement.
  

  Démonstration. Les triangles rectangles formés avec la hauteur \( PH \) ont un côté commun. L’égalité des projections entraîne celle des longueurs des segments, et inversement, par le théorème de Pythagore.

• Corollaire
  Si les projections de deux segments obliques ont des longueurs différentes, alors le segment correspondant à la plus grande projection est lui aussi le plus long.
  

  Exemple. Le segment \( PS \) est plus long que \( PR \), donc sa projection \( HS \) est également plus grande que \( HR \).

Ces résultats permettent de mieux comprendre la notion de distance dans l’espace et ses propriétés géométriques fondamentales.