Union et différence de solides
La géométrie dans l'espace étudie les figures tridimensionnelles, appelées solides, ainsi que les opérations que l'on peut effectuer sur celles-ci. Parmi les plus courantes figurent l'union et la différence. La première permet de réunir plusieurs solides pour former un nouvel ensemble, tandis que la seconde consiste à retrancher d'un solide la partie occupée par un autre.
Union de solides
L'union de deux solides A et B qui n'ont aucun point intérieur en commun, c'est-à-dire qui sont disjoints ou ne se rencontrent que sur leur frontière, forme un nouvel ensemble C constitué de tous les points appartenant à A ou à B. Dans le cas considéré ici, cet ensemble constitue le solide C. $$ A + B = C $$
Les solides A et B constituent les composantes du solide obtenu C. Autrement dit, le nouveau solide rassemble en une seule figure les deux solides de départ.
L'union possède deux propriétés fondamentales :
- Commutativité : l'ordre dans lequel les solides sont réunis ne change pas le résultat. $$ A + B = B + A = C $$
- Associativité : lorsqu'on réunit plus de deux solides, la manière dont on les regroupe ne modifie pas le résultat final. $$ (A + B) + C = A + (B + C) $$
Ces propriétés sont particulièrement utiles lorsqu'on souhaite décomposer une forme complexe en solides plus simples, puis la reconstruire. L'union intervient ainsi aussi bien dans le calcul des volumes que dans la modélisation géométrique tridimensionnelle.
Exemple
Considérons deux cubes, l'un de 3 cm d'arête et l'autre de 2 cm d'arête, placés à proximité l'un de l'autre sans se chevaucher.
Leur union, représentée par le solide C, comprend les deux cubes comme deux composantes distinctes et séparées.
Puisque leurs intérieurs ne se chevauchent pas, il suffit d'additionner leurs volumes pour obtenir le volume total :
\[ V = 3^3 + 2^3 = 27 + 8 = 35\ \text{cm}^3 \]
Différence de solides
La différence entre deux solides A et B est l'ensemble des points qui appartiennent à A mais pas à B. Dans le cas considéré ici, le solide obtenu C est défini par : $$ C = A - B $$ Autrement dit, C correspond à la partie de A qui subsiste après le retrait de la partie occupée par B.
Cette opération permet notamment de créer des cavités ou d'évider un solide. Pour obtenir une cavité comme dans l'exemple suivant, le solide B doit être entièrement contenu dans le solide A. Plus généralement, si A et B ne se chevauchent que partiellement, la différence A - B s'obtient en retirant de A la partie commune aux deux solides.
Exemple
Reprenons les deux cubes précédents, l'un de 3 cm d'arête et l'autre de 2 cm d'arête.
Cette fois, le plus petit cube est entièrement contenu dans le plus grand et placé exactement en son centre.
En retirant le petit cube du grand, on obtient le solide C = A - B : un cube évidé présentant une cavité cubique en son centre. Pour calculer son volume, il suffit de soustraire le volume du petit cube de celui du grand :
\[ V = 3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19\ \text{cm}^3 \]
Le même principe peut être appliqué à d'autres solides et à des formes plus complexes.
