Tronc de pyramide

Un tronc de pyramide est un solide géométrique obtenu en coupant une pyramide par un plan parallèle à sa base. Cette coupe fait apparaître une nouvelle face, plus petite que la base initiale. La partie comprise entre les deux plans parallèles constitue le tronc de pyramide, qui possède donc deux bases de même forme, mais de dimensions différentes.

Lorsqu'on coupe une pyramide par un plan parallèle à sa base, on obtient deux solides distincts :

• Une pyramide plus petite, située dans la partie supérieure, de sommet \( V \) et de base \( A'B'C'D' \). Elle a le même sommet que la pyramide initiale \( ABCDV \) et lui est semblable.
• Un tronc de pyramide, situé dans la partie inférieure, délimité par deux bases polygonales parallèles et par des faces latérales en forme de trapèze.

Les deux bases d'un tronc de pyramide sont parallèles et semblables. Elles ont donc la même forme, mais pas les mêmes dimensions.

La grande base (ABCD) correspond à la base de la pyramide initiale. La petite base (A'B'C'D'), quant à elle, est la section obtenue par le plan de coupe.

Les faces latérales sont des trapèzes. Dans le cas particulier d'un tronc de pyramide régulière, ce sont des trapèzes isocèles congruents.

Le nombre de faces latérales est égal au nombre de côtés de chacune des bases. Ainsi, si les bases sont quadrilatérales, le tronc possède quatre faces latérales ; si elles sont pentagonales, il en possède cinq, et ainsi de suite.

Cette propriété reste valable que la base soit un polygone régulier ou irrégulier.

Pour étudier un tronc de pyramide, il faut distinguer plusieurs éléments géométriques essentiels :

• La hauteur (h) est la distance entre les deux plans parallèles contenant les bases.
• Les sommets du tronc sont les sommets de ses deux bases, la grande et la petite.
• Les arêtes latérales sont les segments qui relient les sommets correspondants des deux bases.
• Dans un tronc de pyramide régulière, l'apothème (a) est la hauteur commune des faces latérales trapézoïdales. Il intervient notamment dans le calcul de l'aire latérale.

Un tronc de pyramide régulière est obtenu en coupant une pyramide régulière par un plan parallèle à sa base. Ses deux bases sont des polygones réguliers semblables et ses faces latérales sont des trapèzes isocèles congruents. La hauteur de chacun de ces trapèzes est appelée apothème du tronc de pyramide. Un tronc de pyramide droit est obtenu en coupant une pyramide droite par un plan parallèle à sa base. Dans le cas d'une pyramide régulière, l'axe qui passe par le sommet et le centre de la base est perpendiculaire au plan de celle-ci.

Formules

Les principales formules permettent de calculer l'aire latérale, l'aire totale et le volume d'un tronc de pyramide.

• Aire latérale (A_l)
  Dans le cas d'un tronc de pyramide régulière, l'aire latérale est la somme des aires de toutes les faces latérales, qui sont des trapèzes isocèles congruents. Elle est égale au produit de la somme des demi-périmètres des deux bases par l'apothème du tronc : $$ A_l = (p_B + p_b) \cdot a $$ où p_B et p_b désignent respectivement les demi-périmètres de la grande et de la petite base, tandis que "a" désigne l'apothème du tronc.

  Démonstration. Considérons un tronc obtenu à partir d'une pyramide droite régulière à base carrée.
  
  L'aire latérale est la somme des aires des quatre faces latérales. Dans cet exemple, ces faces sont des trapèzes isocèles congruents. L'aire de chacun d'eux est donnée par $ \frac{(l_1+l_2) \cdot a}{2} $. On obtient donc : $$ A_l = 4 \cdot \frac{(l_1+l_2) \cdot a}{2} $$ $$ A_l = \frac{(4l_1+4l_2) \cdot a}{2} $$ Ici, $ P_B = 4l_1 $ désigne le périmètre de la base inférieure du tronc de pyramide, tandis que $ P_b = 4l_2 $ désigne celui de la base supérieure. On peut donc écrire : $$ A_l = \frac{(P_B + P_b) \cdot a}{2} $$ Comme $ p_B = \frac{P_B}{2} $ est le demi-périmètre de la base inférieure et $ p_b = \frac{P_b}{2} $ celui de la base supérieure, la formule devient : $$ A_l = (p_B + p_b) \cdot a $$ L'aire latérale d'un tronc de pyramide régulière est donc égale au produit de la somme des demi-périmètres de ses deux bases par son apothème. C'est ce qu'il fallait démontrer.

• Aire totale (A_t)
  L'aire totale s'obtient en ajoutant à l'aire latérale les aires de la grande base et de la petite base : $$ A_t = A_B + A_b + A_l $$
• Volume (V)
  Le volume d'un tronc de pyramide se calcule à l'aide de la formule suivante : $$ V = \frac{1}{3}h(A_B + A_b + \sqrt{A_B \cdot A_b}) $$ où \( h \) désigne la hauteur du tronc, \( A_B \) l'aire de la grande base et \( A_b \) l'aire de la petite base.

  Démonstration. Pour retrouver cette formule, on peut considérer le tronc comme la différence entre deux pyramides semblables. On retranche du volume de la pyramide initiale celui de la petite pyramide située au-dessus du plan de section. Notons $ V_1 $ le volume de la grande pyramide de base ABCD et $ V_2 $ celui de la petite pyramide de base A'B'C'D', toutes deux ayant pour sommet O.
  
  Leurs volumes respectifs sont : $$ V_1 = \frac{1}{3} ABCD \cdot OH \quad \text{et} \quad V_2 = \frac{1}{3} A'B'C'D' \cdot OH' $$ Le volume du tronc est donc la différence entre ces deux volumes : $$ V = V_1 - V_2 $$ $$ V = \left( \frac{1}{3} ABCD \cdot OH \right) - \left( \frac{1}{3} A'B'C'D' \cdot OH' \right) $$ Pour alléger les écritures, posons $ S = ABCD $, $ s = A'B'C'D' $, $ x = OH' $ et $ h + x = OH $. On obtient alors : $$ V = \frac{1}{3} S \cdot (h + x) - \frac{1}{3} s \cdot x $$ $$ V = \frac{1}{3} S \cdot h + \frac{1}{3} S \cdot x - \frac{1}{3} s \cdot x $$ $$ V = \frac{1}{3} S \cdot h + \frac{1}{3} x \cdot (S - s) $$ Comme les deux pyramides sont semblables, leurs dimensions linéaires correspondantes sont proportionnelles. Le rapport des aires de leurs bases est donc égal au carré du rapport de leurs hauteurs. D'après le théorème sur les aires des polygones semblables, on a : $$ S : s = (h + x)^2 : x^2 $$ En prenant la racine carrée des deux rapports : $$ \sqrt{S:s} = \sqrt{(h + x)^2 : x^2} $$ $$ \sqrt{S} : \sqrt{s} = (h + x) : x $$ En appliquant la propriété des proportions selon laquelle, si $ a:b = c:d $, alors $ (a-b):b = (c-d):d $, on obtient : $$ (\sqrt{S} - \sqrt{s}) : \sqrt{s} = h : x $$ En isolant $ x $, il vient : $$ x = \frac{h \sqrt{s}}{ \sqrt{S} - \sqrt{s} } $$ Rationalisons le dénominateur : $$ x = \frac{h \sqrt{s}}{ \sqrt{S} - \sqrt{s} } \cdot \frac{ \sqrt{S} + \sqrt{s} }{ \sqrt{S} + \sqrt{s} } $$ $$ x = \frac{h \sqrt{s} \cdot ( \sqrt{S} + \sqrt{s} ) }{ (\sqrt{S} - \sqrt{s})( \sqrt{S} + \sqrt{s} ) } $$ $$ x = \frac{h \sqrt{s} \cdot ( \sqrt{S} + \sqrt{s} ) }{ S - s } $$ Remplaçons maintenant $ x $ par cette expression dans la formule de $ V $ : $$ V = \frac{1}{3} S \cdot h + \frac{1}{3} x \cdot (S - s) $$ $$ V = \frac{1}{3} S \cdot h + \frac{1}{3} \cdot \frac{h \sqrt{s} \cdot ( \sqrt{S} + \sqrt{s} ) }{ S - s } \cdot (S - s) $$ $$ V = \frac{1}{3} S \cdot h + \frac{1}{3} h \cdot \sqrt{s} \cdot ( \sqrt{S} + \sqrt{s} ) $$ $$ V = \frac{1}{3} S \cdot h + \frac{1}{3} h \cdot \sqrt{S \cdot s} + \frac{1}{3} h \cdot s $$ $$ V = \frac{1}{3} h \cdot (S + s + \sqrt{S \cdot s}) $$ Ici, $ S = A_B $ désigne l'aire de la grande base et $ s = A_b $ celle de la petite base du tronc de pyramide. On obtient finalement : $$ V = \frac{1}{3}h(A_B + A_b + \sqrt{A_B \cdot A_b}) $$

Remarques complémentaires

Quelques propriétés permettent de mieux comprendre la structure d'un tronc de pyramide et les relations qui existent entre sa base et les sections parallèles à celle-ci.

• La section et la base sont des polygones semblables
  Dans une pyramide, toute section réalisée par un plan parallèle à la base est un polygone semblable à cette base. Autrement dit, la forme reste la même, seules les dimensions changent.

  Démonstration. La base et la section appartiennent à deux plans parallèles, \( \pi \) et \( \pi' \), qui coupent les faces latérales de la pyramide initiale. Les côtés correspondants de la base et de la section sont donc parallèles : $ AB \parallel A'B' $. Considérons alors les triangles \( VAB \) et \( VA'B' \), qui ont le sommet \( V \) en commun.
  
  Les angles $ V \hat{A} B $ et $ V \hat{A'} B' $ sont égaux d'après le théorème des droites parallèles, puisque \( AB \) et \( A'B' \) sont parallèles et que \( VA \) est une sécante commune. De même, les angles \( V \hat{B} A \) et \( V \hat{B'} A' \) sont égaux. Les triangles \( VAB \) et \( VA'B' \) sont donc semblables d'après le critère de similitude angle-angle (AA). $$ VAB \approx VA'B' $$ Leurs côtés correspondants sont alors proportionnels : $$ AB : A'B' = VB : VB' $$ Le même raisonnement s'applique aux autres faces latérales : \( VBC \approx VB'C' \), \( VCD \approx VC'D' \) et \( VAD \approx VA'D' \). On obtient notamment : $$ BC : B'C' = VB : VB' $$ Par transitivité : $$ AB : A'B' = VB : VB' = BC : B'C' $$ D'où : $$ AB : A'B' = BC : B'C' $$ Ce raisonnement s'étend à toutes les autres faces latérales. Les côtés correspondants de la base et de la section sont donc proportionnels. De plus, puisque les deux polygones résultent de l'intersection des faces latérales avec deux plans parallèles, leurs angles correspondants sont égaux.
  
  On peut donc conclure que la base et la section sont des polygones semblables : $$ ABCD \approx A'B'C'D' $$

• Les longueurs et les périmètres sont proportionnels à la distance au sommet
  Lorsqu'on coupe une pyramide par un plan parallèle à sa base, la taille de la section dépend directement de sa distance au sommet \( V \). Les longueurs de ses côtés et son périmètre varient dans la même proportion que cette distance.

  Démonstration. Considérons les triangles \( VAH \) et \( VA'H' \). Ils sont semblables d'après le critère de similitude angle-angle : ils ont le même angle en \( V \) et possèdent chacun un angle droit (90°).
  
  Puisque $ VAH \approx VA'H' $, leurs côtés correspondants sont proportionnels. On a notamment : $$ \frac{VH}{VH'} = \frac{VA}{VA'} $$ Considérons maintenant les triangles \( ABV \) et \( A'B'V \). Eux aussi sont semblables : ils ont l'angle de sommet \( V \) en commun, tandis que les angles $ V \hat{A} B $ et $ V \hat{A'} B' $ sont égaux d'après le théorème des droites parallèles, puisque \( AB \parallel A'B' \).
  
  Puisque $ ABV \approx A'B'V $, leurs côtés correspondants sont proportionnels : $$ \frac{AB}{A'B'} = \frac{VA}{VA'} $$ Or, comme $ \frac{VH}{VH'} = \frac{VA}{VA'} $, on obtient : $$ \frac{AB}{A'B'} = \frac{VH}{VH'} $$ Le même raisonnement vaut pour tous les autres couples de côtés correspondants de la base et de la section : $$ \frac{BC}{B'C'} = \frac{VH}{VH'} $$ $$ \frac{CD}{C'D'} = \frac{VH}{VH'} $$ $$ \frac{AD}{A'D'} = \frac{VH}{VH'} $$ Les périmètres des deux polygones sont donc eux aussi dans le même rapport : $$ \frac{AB + BC + CD + AD}{A'B' + B'C' + C'D' + A'D'} = \frac{VH}{VH'} $$ En notant ces périmètres $ 2p $ et $ 2p' $, on obtient : $$ \frac{2p}{2p'} = \frac{VH}{VH'} $$ Ainsi, le rapport des périmètres est égal au rapport de similitude, c'est-à-dire au rapport de n'importe quelle paire de côtés correspondants : $$ \frac{2p}{2p'} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{AD}{A'D'} $$

• Le rapport des aires est égal au carré du rapport de similitude
  Les longueurs varient selon le rapport de similitude \( k \), mais les aires varient selon son carré. Ainsi, si \( S \) désigne l'aire de la grande base et \( S' \) celle de la petite base, on a : \[ \frac{S}{S'} = \left( \frac{AB}{A'B'} \right)^2 = k^2 \]

  Démonstration. La base d'une pyramide et toute section parallèle à celle-ci sont des polygones semblables. Or, le rapport des aires de deux polygones semblables est égal au carré de leur rapport de similitude $ k $ (voir la démonstration). Dans le cas d'un tronc de pyramide, on a donc : $$ \frac{S}{S'} = k^2 $$
  
  Prenons l'exemple d'une pyramide à base carrée. L'aire de la base \( ABCD \) est égale au carré de la longueur de l'un de ses côtés : $ S = (AB)^2 $. De même, l'aire de la section \( A'B'C'D' \) est donnée par $ S' = (A'B')^2 $. Le rapport entre les deux aires est donc : $$ \frac{S}{S'} = \frac{(AB)^2}{(A'B')^2} = \left( \frac{AB}{A'B'} \right)^2 = k^2 $$ où $ k = \frac{AB}{A'B'} $ désigne le rapport de similitude entre les deux polygones. Cette propriété ne se limite pas aux carrés : elle est valable pour tous les polygones semblables. Lorsque deux polygones sont semblables, toutes leurs longueurs correspondantes, comme les côtés, les hauteurs ou les diagonales, sont dans le même rapport $ k $. Leurs aires, en revanche, sont dans le rapport $ k^2 $.

Ces propriétés montrent comment la similitude permet de relier simplement les dimensions, les périmètres et les aires de la base d'une pyramide à ceux de toute section parallèle.