Pyramides

Une pyramide est un polyèdre formé d'une base polygonale et de faces latérales triangulaires qui se rejoignent toutes en un même point, appelé sommet de la pyramide. Sa base peut être un triangle, un quadrilatère ou, plus généralement, n'importe quel polygone.

La base de la pyramide est donc un polygone, tandis que ses faces latérales sont des triangles qui ont tous en commun le sommet de la pyramide.

Les arêtes qui délimitent la base sont appelées arêtes de la base. Celles qui relient les sommets de la base au sommet de la pyramide sont appelées arêtes latérales.

Une autre grandeur essentielle est la hauteur de la pyramide. Elle correspond à la distance entre le sommet et le plan de la base. Géométriquement, elle est représentée par le segment issu du sommet et perpendiculaire au plan de la base.

On classe notamment les pyramides selon le nombre de côtés de leur base. On parle ainsi de pyramide triangulaire, quadrangulaire, pentagonale, et ainsi de suite.

Dans une pyramide dont la base possède \(n\) côtés, le nombre de sommets et le nombre de faces sont tous deux égaux à \(n+1\), tandis que le nombre d'arêtes est égal à \(2n\). Une pyramide possède donc au moins quatre faces. La plus simple est le tétraèdre : sa base est triangulaire et ses trois faces latérales sont également des triangles, ce qui donne quatre faces triangulaires au total.

Types de pyramides

Les pyramides peuvent être classées en plusieurs catégories selon la forme de leur base et la position de leur sommet.

• Pyramides à base triangulaire ou quadrangulaire
  La base d'une pyramide peut être un triangle, un quadrilatère ou tout autre polygone, régulier ou irrégulier. Si la base est un triangle, on parle de pyramide triangulaire. Si elle est carrée, on parle plus précisément de pyramide à base carrée. Plus généralement, lorsque la base est un quadrilatère quelconque, il s'agit d'une pyramide quadrangulaire. Le même principe s'applique aux pyramides dont la base comporte un plus grand nombre de côtés.
  
• Pyramide droite

  Une pyramide est dite pyramide droite lorsque la projection orthogonale de son sommet (V) sur le plan de la base coïncide avec le centre (O) de la base, lorsque celui-ci est défini. En particulier, si la base ABCD est inscriptible dans un cercle, le sommet V se trouve à la verticale du centre O du cercle circonscrit à la base.
  
  Le segment OV est alors perpendiculaire au plan de la base et représente la hauteur de la pyramide.
  

  Autrement dit, dans une pyramide droite, le pied de la hauteur coïncide avec le centre O de la base. Le segment OV représente donc la hauteur de la pyramide. Si la base est un polygone régulier, la pyramide est régulière et les hauteurs de ses faces latérales sont appelées apothèmes de la pyramide.

  Une pyramide dont le pied de la hauteur ne coïncide pas avec le centre de la base est appelée pyramide oblique.
  

• Pyramide régulière

  Une pyramide régulière est une pyramide dont la base ABCD est un polygone régulier et dont le sommet se projette orthogonalement sur le centre O de la base. Ses faces latérales sont alors des triangles isocèles congruents.
  

  Comme la base est un polygone régulier, elle possède un cercle circonscrit et un cercle inscrit de même centre O. Les faces latérales sont des triangles isocèles congruents. Leurs hauteurs, tracées depuis le sommet de la pyramide jusqu'aux côtés de la base, ont toutes la même longueur : ce sont les apothèmes de la pyramide. La hauteur de la pyramide passe quant à elle par le centre O de la base et correspond au segment OV.
• Tronc de pyramide
  Un tronc de pyramide est un solide obtenu en coupant une pyramide par un plan parallèle à sa base et en conservant la partie comprise entre la base et le plan de section.
  

Propriété des apothèmes d'une pyramide régulière

Dans une pyramide régulière, tous les apothèmes ont la même longueur. Si D, E et F sont les points de tangence du cercle inscrit dans la base avec les côtés correspondants, les segments VD, VE et VF sont perpendiculaires à ces côtés et vérifient VD ≅ VE ≅ VF.

Dans l'exemple précédent, les apothèmes sont les segments VD, VE et VF. Ils ont tous la même longueur :

$$ \overline{VD} \cong \overline{VE} \cong \overline{VF} $$

Cette propriété facilite le calcul de plusieurs grandeurs métriques d'une pyramide régulière, en particulier celui de son aire latérale.

Formules

Volume d'une pyramide

Le volume \( V \) d'une pyramide se calcule à partir de l'aire de sa base et de sa hauteur :

$$ V = \frac{1}{3} \cdot (\text{aire de la base}) \cdot (\text{hauteur}) $$

Cette formule est valable quelle que soit la forme de la base et que la pyramide soit droite ou oblique.

Il suffit donc de connaître l'aire de la base et la hauteur de la pyramide pour en déterminer le volume.

Remarque : le volume d'une pyramide est égal au tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur. Une pyramide a donc un volume égal au tiers de celui d'un prisme ayant la même aire de base et la même hauteur. Voir solides équivalents.

Aire latérale

L'aire latérale d'une pyramide correspond à la somme des aires de toutes ses faces latérales.

Dans le cas particulier d'une pyramide régulière, elle se calcule en multipliant le demi-périmètre \(p\) de la base par l'apothème \(a\) de la pyramide :

$$ A_L = p \cdot a $$

Aire totale

L'aire totale d'une pyramide s'obtient en ajoutant l'aire de la base à l'aire latérale.

$$ A = A_L + A_B $$

où A_L désigne l'aire latérale et A_B l'aire de la base.

Exemple. Considérons une pyramide régulière à base carrée. Son patron est constitué d'un carré, qui représente la base, et de quatre triangles isocèles congruents. La hauteur de chacun de ces triangles est l'apothème \(a\) de la pyramide.

Pour calculer l'aire latérale, on additionne les aires des quatre faces triangulaires : $$ A_l = \frac{1}{2} l \cdot a + \frac{1}{2} l \cdot a + \frac{1}{2} l \cdot a + \frac{1}{2} l \cdot a $$ On peut alors simplifier cette expression : $$ A_l = 4 \cdot \frac{1}{2} l \cdot a $$ Comme le périmètre de la base est $ P = 4l $, la formule devient : $$ A_l = \frac{1}{2} P \cdot a $$ Or le demi-périmètre est défini par $ p = \frac{1}{2} P $. On obtient donc : $$ A_l = p \cdot a $$ L'aire latérale d'une pyramide régulière est ainsi égale au produit du demi-périmètre de sa base par son apothème. Pour obtenir l'aire totale, il suffit enfin d'ajouter l'aire de la base : $$ A_t = A_b + A_l = A_b + p \cdot a $$

Notes complémentaires

Voici quelques propriétés utiles pour mieux comprendre la géométrie et le volume des pyramides :

• Tronc de pyramide
  Lorsqu'un plan parallèle à la base coupe une pyramide à une hauteur h, il la partage en deux solides. La partie supérieure reste une pyramide A'B'C'V, tandis que la partie inférieure forme un tronc de pyramide de hauteur h.
  
• Propriété des apothèmes d'une pyramide régulière
  Dans une pyramide régulière, les hauteurs des faces latérales, appelées apothèmes de la pyramide, ont toutes la même longueur. Elles rencontrent les côtés de la base aux points de tangence avec le cercle inscrit dans le polygone régulier qui constitue la base.
  
• Pyramides de même volume
  Deux pyramides dont les bases ont la même aire et qui ont la même hauteur possèdent le même volume. Ainsi, si deux pyramides ont la même aire de base $ A_b $ et la même hauteur $ h $, leurs volumes sont égaux, quelle que soit la forme de leurs bases ou l'inclinaison de leurs faces.
  
  

  Démonstration. Cette propriété découle directement de la formule du volume d'une pyramide : $$ V = \frac{1}{3} \cdot \text{aire de la base} \cdot \text{hauteur} $$ Le volume dépend uniquement de l'aire de la base et de la hauteur. Deux pyramides ayant les mêmes valeurs pour ces deux grandeurs ont donc nécessairement le même volume.

• Le volume d'une pyramide est égal au tiers de celui d'un prisme ayant la même aire de base et la même hauteur
  Si une pyramide et un prisme ont des bases de même aire et la même hauteur, le volume de la pyramide est exactement égal au tiers de celui du prisme.

  Exemple. Considérons un prisme triangulaire de base ABC. Il peut être décomposé en trois pyramides de même volume : P1, P2 et P3.
  
  Les pyramides P1 et P2 ont des bases congruentes, $ ABC \cong A'B'C' $, et des hauteurs égales, $ AA' \cong CC' $. Elles ont donc le même volume : $$ P1 \doteq P2 $$ De même, les pyramides P2 et P3 ont des bases congruentes, $ BCC' \cong BCB' $, et une même hauteur, $ A'B' $. Elles ont donc elles aussi le même volume : $$ P2 \doteq P3 $$ Par transitivité, P1 et P3 ont également le même volume : $$ P1 \doteq P2 \doteq P3 \Rightarrow P1 \doteq P3 $$ Le prisme est ainsi décomposé en trois pyramides de même volume. Chacune représente donc exactement un tiers du volume total du prisme. Le volume d'une pyramide est donné par : \[ V = \frac{1}{3} \cdot \text{aire de la base} \cdot \text{hauteur} \] tandis que celui d'un prisme est : \[ V = \text{aire de la base} \cdot \text{hauteur} \] Ainsi, lorsque les deux solides ont la même aire de base et la même hauteur, le volume de la pyramide est exactement égal au tiers de celui du prisme.

• Égalité des volumes d'une pyramide et d'un cône
  Une pyramide et un cône dont les bases ont la même aire et qui ont la même hauteur possèdent le même volume. En effet, la formule du volume est identique pour les deux solides : $$ V = \frac{1}{3} \cdot \text{aire de la base} \cdot \text{hauteur} $$ Si l'aire de la base et la hauteur sont les mêmes, les volumes sont donc nécessairement égaux.

  Démonstration. Considérons une pyramide et un cône reposant sur le même plan $ \alpha $. Supposons que leurs bases aient la même aire ($ S = S' $) et que leurs hauteurs soient égales ($ AB \cong CD $).
  
  Pour comparer les deux solides, traçons un second plan $ \alpha' $ parallèle au plan de la base ($ \alpha' \parallel \alpha $). Ce plan coupe la pyramide et le cône et détermine, dans chacun d'eux, une section parallèle à la base. Notons $ S_p $ l'aire de la section de la pyramide et $ S_c $ celle de la section du cône.
  
  Lorsqu'une pyramide ou un cône est coupé par un plan parallèle à sa base, la section obtenue est semblable à la base. Le rapport des aires est donc égal au carré du rapport de similitude : $$ \frac{S}{S_p} = \left( \frac{AB}{A'B} \right)^2 \quad \text{(pyramide)} $$ $$ \frac{S'}{S_c} = \left( \frac{CD}{C'D} \right)^2 \quad \text{(cône)} $$ Puisque $ AB = CD $ et $ S = S' $ par hypothèse, on obtient : $$ \frac{S}{S_c} = \left( \frac{AB}{C'D} \right)^2 \quad \text{(cône)} $$ Comme les deux solides sont coupés par le même plan parallèle à leurs bases, on a également $ A'B = C'D $. Les rapports de similitude sont donc égaux : $$ \frac{S}{S_c} = \left( \frac{AB}{A'B} \right)^2 \quad \text{(cône)} $$ On en déduit que les deux sections ont la même aire : $$ \frac{S}{S_p} = \frac{S}{S_c} \quad \Rightarrow \quad S_p = S_c $$ Cette égalité est valable pour tout plan parallèle aux bases. À une même hauteur, la section de la pyramide et celle du cône ont donc toujours la même aire. D'après le principe de Cavalieri, les deux solides ont par conséquent le même volume.

Ces propriétés montrent que le volume d'une pyramide dépend uniquement de l'aire de sa base et de sa hauteur, et non de la forme particulière de sa base ou de l'inclinaison de ses faces.