Pyramide régulière

Une pyramide régulière est une pyramide dont la base est un polygone régulier et dont le pied de la hauteur coïncide avec le centre de la base.

Sa base peut donc être un triangle équilatéral, un carré, un pentagone régulier ou tout autre polygone régulier. Le sommet de la pyramide se trouve sur la droite perpendiculaire au plan de la base passant par le centre de celle-ci.

Une pyramide régulière possède plusieurs propriétés caractéristiques :

• Base régulière. La base est un polygone régulier. Elle admet donc un cercle inscrit et un cercle circonscrit de même centre.
• Faces latérales isométriques. Toutes les faces latérales sont des triangles isocèles isométriques.
• Hauteur. La hauteur (OV) est perpendiculaire au plan de la base et son pied O est le centre du polygone régulier. Le point O est également le centre du cercle inscrit et du cercle circonscrit à la base.
• Apothème. L'apothème d'une pyramide régulière est la hauteur d'une face latérale issue du sommet. Il relie le sommet au milieu d'un côté de la base et est perpendiculaire à ce côté. Tous les apothèmes d'une pyramide régulière ont la même longueur.

Grâce à ces propriétés, la pyramide régulière présente une forte symétrie : ses arêtes latérales ont la même longueur et ses faces latérales sont toutes de même forme et de mêmes dimensions.

Remarque. Les formes pyramidales sont présentes dans de nombreuses réalisations architecturales. L'exemple le plus célèbre est la grande pyramide de Khéops, en Égypte, construite sur une base carrée d'une très grande régularité géométrique.

Exemple de pyramide régulière

Considérons une pyramide dont la base ABCD est un carré, c'est-à-dire un quadrilatère régulier.

Le sommet V se trouve sur la droite perpendiculaire au plan de la base passant par son centre O. Le segment OV est donc la hauteur de la pyramide et il est perpendiculaire au plan de la base ABCD.

Les quatre faces latérales sont des triangles isocèles isométriques :

$$ ABV \cong BCV \cong CDV \cong DAV $$

La hauteur de chaque face latérale issue du sommet V est un apothème de la pyramide. Tous ces apothèmes ont la même longueur. Par exemple :

$$ EV \cong FV $$

Comme la base est un polygone régulier, elle admet un cercle inscrit et un cercle circonscrit. Ces deux cercles ont le même centre O, qui correspond également au pied de la hauteur de la pyramide.

Démonstration

Par définition, la base d'une pyramide régulière est un polygone régulier. Or tout polygone régulier admet un cercle inscrit et un cercle circonscrit de même centre.

Considérons les points E et F où le cercle inscrit est tangent respectivement aux côtés AD et AB du polygone.

Les segments EV et FV sont les apothèmes des faces latérales ADV et ABV de la pyramide droite (voir la démonstration). Comme ils sont les hauteurs de ces faces triangulaires issues du sommet V, ils sont respectivement perpendiculaires aux côtés AD et AB de la base.

Les segments OE et OF ont la même longueur puisqu'ils sont des rayons du cercle inscrit :

$$ OE \cong OF $$

Les angles $ E \hat{O} V $ et $ F \hat{O} V $ sont tous deux droits. En effet, $ OV $, qui est la hauteur de la pyramide, est perpendiculaire au plan de la base ABCD et, par conséquent, à toute droite de ce plan passant par O.

$$ E \hat{O} V \cong F \hat{O} V = 90° $$

Les triangles OEV et OFV sont donc isométriques d'après le premier critère d'isométrie des triangles : $ OE \cong OF $, le côté OV leur est commun et les angles compris $ E \hat{O} V $ et $ F \hat{O} V $ ont la même mesure.

On en déduit que :

$$ EV \cong FV $$

Les deux apothèmes ont donc la même longueur.

Le même raisonnement pouvant être appliqué à toutes les faces latérales, tous les apothèmes d'une pyramide régulière ont la même longueur.

Considérons maintenant les segments $ OA $, $ OB $, $ OC $ et $ OD $. Ils ont tous la même longueur puisqu'ils sont des rayons du cercle circonscrit à la base :

$$ OA \cong OB \cong OC \cong OD $$

Les triangles $ OAV $, $ OBV $, $ OCV $ et $ ODV $ sont isométriques. En effet, les segments OA, OB, OC et OD ont la même longueur, le segment OV leur est commun et les angles formés en O avec OV sont tous droits.

On en déduit que toutes les arêtes latérales ont la même longueur :

$$ AV \cong BV \cong CV \cong DV $$

Les triangles $ ABV $ et $ ADV $ sont donc des triangles isocèles, puisque chacun possède deux côtés de même longueur.

Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est également une médiane. Les points E et F sont donc respectivement les milieux de AD et AB.

Comme ABCD est un carré, $ AD \cong AB $. On obtient alors :

$$ AE \cong ED \cong AF \cong BF $$

D'après le troisième critère d'isométrie des triangles, les triangles $ ABV $ et $ ADV $ sont isométriques, car leurs trois côtés correspondants ont la même longueur : $ AB \cong AD $, le côté AV leur est commun et $ BV \cong DV $.

Le même raisonnement étant valable pour toutes les faces latérales, on peut conclure que les faces latérales d'une pyramide régulière sont toutes des triangles isocèles isométriques.

Formules principales

Les principales grandeurs d'une pyramide régulière peuvent être calculées à l'aide des formules suivantes.

• Aire de la base
  L'aire de la base dépend du nombre de côtés du polygone régulier et de la longueur de chacun de ses côtés. Elle est donnée par : \[ A_b = \frac{n \cdot l^2}{4} \cdot \cot \frac{180^\circ}{n} \] où \( n \) désigne le nombre de côtés de la base et \( l \) la longueur d'un côté. L'angle \( \frac{180^\circ}{n} \) correspond à la moitié de l'angle au centre sous-tendu par un côté du polygone régulier. Dans le cas particulier d'une base carrée, la formule se réduit à \( A_b = l^2 \).

  Exemple. Si la base est un pentagone régulier de côté \( l = 5 \) cm, son aire est : \[ A_b = \frac{5 \cdot 5^2}{4} \cdot \cot \frac{180^\circ}{5} \] \[ A_b = \frac{5 \cdot 25}{4} \cdot \cot 36^\circ \] \[ A_b \approx 43.01 \text{ cm}^2 \]

• Aire latérale
  L'aire latérale correspond à la somme des aires de toutes les faces latérales de la pyramide. Pour une pyramide régulière, elle est donnée par : \[ A_L = \frac{n \cdot l \cdot a}{2} \] où \( n \) désigne le nombre de côtés de la base, \( l \) la longueur d'un côté et \( a \) l'apothème de la pyramide. Chaque face latérale étant un triangle isocèle de base \( l \) et de hauteur \( a \), son aire vaut : \[ \frac{l \cdot a}{2} \] Comme la pyramide possède \( n \) faces latérales, on obtient : \[ A_L = n \cdot \frac{l \cdot a}{2} = \frac{n \cdot l \cdot a}{2} \] En notant \( P \) le périmètre de la base, avec \( P = n \cdot l \), cette formule peut également s'écrire : \[ A_L = \frac{P \cdot a}{2} \]

  Exemple. Si la pyramide possède une base hexagonale (\( n = 6 \)), dont chaque côté mesure \( 4 \) cm, et un apothème de \( 7 \) cm, son aire latérale est : \[ A_L = \frac{6 \cdot 4 \cdot 7}{2} \] \[ A_L = \frac{168}{2} \] \[ A_L = 84 \text{ cm}^2 \]

• Volume de la pyramide
  Le volume d'une pyramide régulière est donné par : \[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \] où \( A_b \) désigne l'aire de la base et \( h \) la hauteur de la pyramide, c'est-à-dire la distance entre le sommet et le plan de la base. Cette formule est valable pour toute pyramide. Le volume d'une pyramide est égal au tiers de celui d'un prisme ayant la même aire de base et la même hauteur.

  Exemple. Si une pyramide possède une base carrée de côté \( l = 6 \) cm, alors : \[ A_b = l^2 \] \[ A_b = 6^2 = 36 \text{ cm}^2 \] Si sa hauteur est de \( 10 \) cm, son volume est : \[ V = \frac{36 \cdot 10}{3} \] \[ V = \frac{360}{3} \] \[ V = 120 \text{ cm}^3 \]

Et ainsi de suite.