Un solide obtenu en retranchant deux cônes à un cylindre

Ce solide géométrique s'obtient en retirant deux cônes identiques d'un cylindre équilatéral circonscrit à une sphère. Sa particularité est remarquable : le volume du solide restant est exactement égal à celui de la sphère inscrite.

La construction est relativement simple, mais elle révèle une propriété géométrique particulièrement intéressante. En comparant les sections du solide et celles de la sphère, on peut en effet comprendre pourquoi leurs volumes sont identiques. Cette égalité constitue une belle application du principe de Cavalieri.

Construction du solide

Commençons par une sphère de centre O et de rayon $R$.

Cette sphère est inscrite dans un cylindre équilatéral, c'est-à-dire un cylindre dont la hauteur $h$ est égale au diamètre de sa base. Puisque la sphère est de rayon $R$, les dimensions du cylindre sont donc :

• Hauteur du cylindre : $h = 2R$
• Rayon de la base : $r = R$

À l'intérieur du cylindre, on construit ensuite deux cônes de révolution identiques. Ils ont pour sommet commun le point O, qui est aussi le centre de la sphère, tandis que leurs bases coïncident respectivement avec les deux bases du cylindre.

Chaque cône possède :

• Hauteur : $R$
• Rayon de la base : $R$

On retranche alors ces deux cônes au cylindre.

Le solide final correspond donc à la partie du cylindre située à l'extérieur des deux cônes opposés. La construction est parfaitement symétrique par rapport au plan passant par le centre O et parallèle aux bases du cylindre.

Calcul du volume

Le solide obtenu en retranchant les deux cônes au cylindre possède exactement le même volume que la sphère inscrite dans ce cylindre.

Pour le vérifier directement, calculons d'abord le volume du cylindre. Sa base a pour rayon $R$ et sa hauteur vaut $2R$ :

$$ V_{\text{cyl}} = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3 $$

Calculons ensuite le volume de l'un des deux cônes. Son rayon de base et sa hauteur sont tous deux égaux à $R$ :

$$ V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3} \pi R^3 $$

Comme deux cônes sont retirés, le volume total retranché est :

$$ 2 \cdot V_{\text{cone}} = \frac{2}{3} \pi R^3 $$

Il suffit maintenant de soustraire ce volume de celui du cylindre :

$$ V_{\text{solid}} = V_{\text{cyl}} - 2 \cdot V_{\text{cone}} = 2\pi R^3 - \frac{2}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R^3 $$

Or cette expression est exactement celle du volume d'une sphère de rayon $R$ :

$$ V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3} \pi R^3 $$

On obtient donc bien :

$$ V_{\text{solid}} = V_{\text{sphere}} $$

Exemple

Prenons une sphère de rayon $R = 3$ cm. Le volume du solide est alors :

$$ V = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36\pi \approx 113.1 \, \text{cm}^3 $$

Le solide possède donc un volume d'environ $113.1 \, \text{cm}^3$, exactement comme la sphère de rayon $3$ cm. Cette égalité peut sembler étonnante, car les deux solides ont des formes très différentes. Elle ne relève pourtant pas d'une simple coïncidence : on peut la démontrer géométriquement en comparant leurs sections à chaque hauteur.

Remarque. Cette construction constitue une excellente illustration du principe de Cavalieri, résultat fondamental de la géométrie des volumes qui préfigure certaines idées du calcul intégral. La méthode des indivisibles, développée par Bonaventura Cavalieri au XVIIe siècle, s'inscrit dans une tradition géométrique dont certains procédés remontent notamment à Archimède. Dans le cas des solides, le principe de Cavalieri affirme que, si deux solides sont compris entre deux plans parallèles et que tout plan parallèle à ces derniers les coupe suivant des sections de même aire, alors ces deux solides ont le même volume.

Démonstration

Voyons maintenant pourquoi l'égalité des volumes peut être établie sans se limiter au calcul précédent.

Considérons un cylindre circulaire droit de hauteur $2r$ et de rayon $r$, reposant sur un plan de base $p$. À l'intérieur du cylindre se trouvent une sphère inscrite et deux cônes de révolution identiques. Leur sommet commun est le point $O$, centre de la sphère, et leurs bases coïncident respectivement avec les deux bases du cylindre.

Coupons le cylindre par un plan $p'$ parallèle à ses bases. Supposons que ce plan soit situé à une distance $h$ du centre $O$ de la sphère.

L'intersection du plan $p'$ avec le cône situé du même côté du centre est un disque de rayon $h$. Pour le comprendre, considérons une section axiale du cône. Le triangle $OO'A$ est rectangle isocèle. Puisque $OO' = O'A$ et que $OO' = h$, on obtient :

$$ O'A = h $$

À cette distance $h$ du centre, la section du solide par le plan $p'$ est donc une couronne circulaire. Son rayon extérieur est $r$, puisqu'il correspond au rayon du cylindre. Son rayon intérieur est $h$, puisqu'il correspond au rayon de la section du cône.

L'aire de la couronne circulaire est égale à l'aire du grand disque moins celle du disque intérieur :

$$ A_c = \pi r^2 - \pi h^2 $$

En mettant $\pi$ en facteur, on obtient :

$$ A_c = \pi (r^2 - h^2) $$

Comparons maintenant cette section avec celle de la sphère inscrite.

Le même plan $p'$ coupe la sphère suivant un cercle. La section plane de la sphère est donc un disque de rayon $O'C$, où $C$ est un point situé sur la surface de la sphère.

Dans le triangle $O'OC$, rectangle en $O'$, le segment $OC$ est un rayon de la sphère et mesure donc $r$, tandis que $OO' = h$. Le théorème de Pythagore donne alors :

$$ OC^2 = OO'^2 + O'C^2 $$

D'où :

$$ O'C^2 = OC^2 - OO'^2 $$

Et puisque $OC = r$ et $OO' = h$ :

$$ O'C^2 = r^2 - h^2 $$

L'aire du disque obtenu par l'intersection de la sphère avec le plan $p'$ est donc :

$$ A_s = \pi \cdot O'C^2 $$

En remplaçant $O'C^2$ par $r^2 - h^2$, on obtient :

$$ A_s = \pi (r^2 - h^2) $$

Les deux aires sont donc égales :

$$ A_c = A_s = \pi (r^2 - h^2) $$

Ce résultat est valable pour toute valeur de $h$ comprise entre $0$ et $r$. Autrement dit, à chaque niveau, la section du solide formé par le cylindre privé des deux cônes possède exactement la même aire que la section correspondante de la sphère.

C'est précisément la situation décrite par le principe de Cavalieri. Les deux solides ont la même hauteur et leurs sections par des plans parallèles aux bases ont la même aire à chaque niveau. Ils possèdent donc nécessairement le même volume.

On retrouve ainsi :

$$ V_{\text{solid}} = V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3}\pi r^3 $$

L'égalité entre le volume de la sphère et celui du cylindre privé des deux cônes est ainsi démontrée.

Et ainsi de suite.