Ellipsoïde

Un ellipsoïde est une surface géométrique fermée de l'espace que l'on peut se représenter, de manière intuitive, comme une sphère étirée ou aplatie dans une ou plusieurs directions.

Il ressemble donc à une sphère, mais ses dimensions peuvent varier suivant les axes x, y et z. Cette différence permet à l'ellipsoïde de prendre des formes plus ou moins allongées ou aplaties.

Dans un cas particulier très important, appelé ellipsoïde de révolution, la surface peut être obtenue en faisant tourner une ellipse autour de l'un de ses axes de symétrie.

Une ellipse est une courbe plane fermée qui généralise le cercle. Elle possède deux demi-axes de longueurs différentes : le demi-grand axe et le demi-petit axe.

Lorsqu'une ellipse tourne autour de l'un de ses axes de symétrie, elle engendre une surface tridimensionnelle appelée ellipsoïde de révolution, ou sphéroïde.

Plus généralement, les sections d'un ellipsoïde par ses trois plans principaux sont des ellipses, appelées ellipses principales.

Équation de l'ellipsoïde

En géométrie analytique, un ellipsoïde centré à l'origine et dont les axes principaux coïncident avec les axes de coordonnées est décrit par l'équation cartésienne réduite suivante :

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 $$

Dans cette équation, \(x\), \(y\) et \(z\) représentent les coordonnées des points situés sur la surface de l'ellipsoïde dans l'espace tridimensionnel.

Les nombres positifs \(a\), \(b\) et \(c\) correspondent aux longueurs de ses trois demi-axes principaux. Ce sont eux qui déterminent les dimensions et la forme de l'ellipsoïde.

Ces demi-axes jouent un rôle comparable à celui du rayon d'une sphère. La différence essentielle est qu'ils ne sont pas nécessairement de même longueur. L'équation permet ainsi de décrire précisément la manière dont l'ellipsoïde s'étend suivant chacun de ses trois axes principaux.

Un exemple concret

Considérons un ellipsoïde dont les demi-axes sont $a=2$, $b=1$ et $c=1$.

Son équation s'écrit :

$$ \frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{1} + \frac{z^2}{1} = 1 $$

En effectuant les calculs, on obtient :

$$ \frac{x^2}{4} + y^2 + z^2 = 1 $$

Deux des trois demi-axes ont la même longueur. Il s'agit donc d'un ellipsoïde de révolution. Comme le demi-axe \(a=2\) est plus long que les deux autres, la surface est étirée suivant l'axe correspondant.

Les différents types d'ellipsoïdes

La forme d'un ellipsoïde dépend directement des longueurs de ses trois demi-axes. Selon les relations entre \(a\), \(b\) et \(c\), on distingue plusieurs cas particuliers :

• Sphère
  Lorsque les trois demi-axes \(a\), \(b\) et \(c\) sont égaux, l'ellipsoïde se réduit à une sphère. La surface possède alors la même symétrie dans toutes les directions, et tout plan passant par son centre la coupe suivant un cercle.
  
• Ellipsoïde de révolution aplati
  On parle d'ellipsoïde de révolution aplati lorsque deux demi-axes sont égaux et que le troisième, situé sur l'axe de révolution, est plus court. La surface apparaît alors aplatie suivant cet axe. La Terre peut, en première approximation, être modélisée de cette manière : sa rotation contribue à son renflement équatorial et à son léger aplatissement aux pôles.
  
• Ellipsoïde de révolution allongé
  À l'inverse, lorsque deux demi-axes sont égaux et que le troisième, situé sur l'axe de révolution, est plus long, on obtient un ellipsoïde de révolution allongé. Par exemple, si \(c > a = b\), la surface s'étire suivant l'axe associé à \(c\). Sa forme rappelle celle d'un ballon de rugby et peut être visualisée comme une sphère étirée dans une direction donnée.
  

Remarque. Les ellipsoïdes ne sont pas seulement des objets mathématiques abstraits. Ils sont utilisés dans de nombreux domaines scientifiques. En astronomie et en géodésie, par exemple, ils permettent de modéliser approximativement la forme de corps célestes qui ne sont pas parfaitement sphériques. Dans de nombreux modèles géodésiques, la Terre est ainsi représentée par un ellipsoïde de révolution aplati.

En résumé, l'ellipsoïde est une quadrique fermée qui généralise la sphère en permettant à ses trois demi-axes principaux d'avoir des longueurs différentes. Selon les valeurs de ces demi-axes, il peut être sphérique, aplati ou allongé. Cette souplesse en fait un modèle mathématique particulièrement utile pour décrire de nombreuses formes naturelles ou artificielles dans l'espace tridimensionnel.