Polyèdres équidécomposables

Deux polyèdres sont dits équidécomposables lorsqu'ils peuvent être découpés en un nombre fini de pièces polyédriques qui se correspondent deux à deux par congruence. Autrement dit, chaque pièce du premier polyèdre peut être déplacée, sans être déformée, de manière à coïncider exactement avec une pièce du second.

L'idée est assez intuitive : on découpe un polyèdre en plusieurs pièces, puis on déplace et on réassemble ces mêmes pièces pour obtenir un autre polyèdre. C'est un peu comme un puzzle tridimensionnel dont les éléments peuvent changer de position, mais jamais de forme ni de dimensions.

Chaque pièce du premier polyèdre doit donc correspondre à une pièce du second ayant exactement la même forme et les mêmes dimensions.

Les pièces peuvent être déplacées au moyen d'isométries de l'espace, notamment par translation ou rotation. En revanche, elles ne peuvent être ni étirées, ni comprimées, ni déformées.

Cette propriété entraîne une conséquence immédiate : deux polyèdres équidécomposables ont nécessairement le même volume, puisque le découpage et le réassemblage par mouvements rigides préservent le volume.

Remarque. La réciproque n'est pas toujours vraie. Deux polyèdres peuvent avoir exactement le même volume sans être équidécomposables. Cette différence est l'un des aspects les plus intéressants du problème en dimension trois.

Un premier exemple

Considérons un cube dont les arêtes mesurent 2 cm. Son volume est :

$$ V = 2 \ cm \cdot 2 \ cm \cdot 2 \ cm = 8 \ cm^3 $$

Découpons maintenant ce cube en huit petits cubes, chacun ayant une arête de 1 cm.

Chacun de ces huit cubes a un volume de 1 cm³. Leur volume total vaut donc :

$$ 8 \cdot 1 \ cm^3 = 8 \ cm^3 $$

Nous pouvons ensuite déplacer et réassembler les huit pièces pour former un autre polyèdre. Les pièces elles-mêmes ne changent pas : seule leur disposition dans l'espace est modifiée.

Le polyèdre initial et celui obtenu après réassemblage sont donc équidécomposables, puisqu'ils sont constitués du même ensemble de pièces congruentes.

Ils ont nécessairement le même volume : 8 cm³.

Exemple 2

Prenons maintenant deux pavés droits à base carrée.

Le premier possède une base de 2 cm × 2 cm et une hauteur de 3 cm.

Le second possède une base de 1 cm × 1 cm et une hauteur de 12 cm.

Calculons le volume du premier :

$$ V_1 = 2 \ cm \cdot 2 \ cm \cdot 3 \ cm = 12 \ cm^3 $$

Puis celui du second :

$$ V_2 = 1 \ cm \cdot 1 \ cm \cdot 12 \ cm = 12 \ cm^3 $$

Les deux polyèdres ont donc le même volume. Mais attention : cela ne permet pas encore d'affirmer qu'ils sont équidécomposables. Pour le démontrer, il faut exhiber une décomposition finie permettant de transformer l'un en l'autre à l'aide de pièces polyédriques congruentes.

C'est précisément là que la géométrie tridimensionnelle devient intéressante : contrairement à ce qui se passe pour les polygones dans le plan, l'égalité des volumes ne suffit pas, à elle seule, à garantir l'équidécomposabilité.

Exemple 3

Considérons à présent une pyramide à base carrée dont le côté de la base mesure 1 cm et la hauteur 3 cm, ainsi qu'un cube dont l'arête mesure 1 cm.

Le volume de la pyramide est :

$$ V_p = \frac{1}{3} l^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (1 \ cm)^2 \cdot 3 \ cm = 1 \ cm^3 $$

Le volume du cube est lui aussi égal à :

$$ V_c = (1 \ cm)^3 = 1 \ cm^3 $$

Les deux polyèdres ont donc exactement le même volume.

Pourtant, cette égalité ne permet pas, à elle seule, de conclure qu'ils sont équidécomposables. En dimension trois, une autre grandeur géométrique joue un rôle essentiel : l'invariant de Dehn. Si deux polyèdres de même volume ont des invariants de Dehn différents, ils ne peuvent pas être équidécomposables.

Cet exemple permet donc de saisir une distinction fondamentale : avoir le même volume et être équidécomposable sont deux propriétés différentes.

Même volume et équidécomposabilité : quelle différence ?

En géométrie, l'équidécomposabilité est une propriété plus restrictive que la simple égalité des volumes.

• Polyèdres de même volume : ils occupent le même volume dans l'espace, mais il n'existe pas nécessairement de découpage fini permettant de transformer l'un en l'autre.
• Polyèdres équidécomposables : ils peuvent être découpés en un nombre fini de pièces polyédriques qui se correspondent deux à deux par congruence, puis réassemblés au moyen d'isométries de l'espace pour reconstituer l'autre polyèdre.

L'équidécomposabilité nous invite donc à regarder les polyèdres autrement. Il ne s'agit plus seulement de comparer leur volume, mais de se demander s'ils peuvent être découpés et reconstruits à partir des mêmes pièces, comme deux configurations différentes d'un même puzzle tridimensionnel.

Remarque. En dimension trois, démontrer que deux polyèdres sont équidécomposables peut être nettement plus difficile que vérifier qu'ils ont le même volume. L'équidécomposabilité dépend également d'autres propriétés géométriques, en particulier de l'invariant de Dehn.

Équidécomposabilité et conservation du volume

Si deux polyèdres sont équidécomposables, alors ils ont nécessairement le même volume.

Autrement dit, l'équidécomposabilité entraîne l'égalité des volumes.

En revanche, la réciproque est fausse : deux polyèdres peuvent avoir le même volume sans être équidécomposables.

On peut donc dire que l'équidécomposabilité est une condition plus forte que l'égalité des volumes. Il ne suffit pas que deux polyèdres occupent le même volume dans l'espace. Il faut également qu'il existe une décomposition finie en pièces polyédriques congruentes permettant de reconstruire l'un à partir de l'autre par des mouvements rigides.

Remarque. Imaginons que vous construisiez un mur avec des blocs de construction. Vous démontez ensuite ce mur et utilisez exactement les mêmes blocs pour bâtir une tour. Les deux constructions ont des formes différentes, mais elles sont constituées des mêmes éléments. Cette image permet de saisir intuitivement l'idée d'équidécomposition : les pièces sont conservées et simplement disposées autrement. Puisque chaque bloc conserve son volume, les deux constructions ont nécessairement le même volume.

Les méthodes consistant à découper et à recomposer des figures géométriques remontent à l'Antiquité et s'inscrivent notamment dans la tradition géométrique issue des Éléments d'Euclide.

L'étude comparative des volumes a ensuite connu d'importants développements, notamment avec Bonaventura Cavalieri. Le principe de Cavalieri permet de comparer les volumes de solides à partir des aires de leurs sections parallèles correspondantes. Il s'agit toutefois d'une méthode de comparaison des volumes, distincte de la notion moderne d'équidécomposabilité des polyèdres.

Une formulation plus formelle

Considérons deux polyèdres, $\mathbb{U}$ et $\mathbb{V}$, représentés dans le diagramme suivant (non reproduit ici).

Le polyèdre $\mathbb{U}$ est décomposé en trois parties polyédriques : $\mathbb{U}_1$, $\mathbb{U}_2$ et $\mathbb{U}_3$.

De même, le polyèdre $\mathbb{V}$ est décomposé en trois parties : $\mathbb{V}_1$, $\mathbb{V}_2$ et $\mathbb{V}_3$.

Supposons que les relations suivantes soient vérifiées :

$\mathbb{U}_1 \cong \mathbb{V}_1$,

$\mathbb{U}_2 \cong \mathbb{V}_2$,

$\mathbb{U}_3 \cong \mathbb{V}_3$.

Chaque pièce de $\mathbb{U}$ étant congruente à la pièce correspondante de $\mathbb{V}$, les deux polyèdres sont équidécomposables.

Ils ont donc nécessairement le même volume, même si leur forme globale est différente.

L'invariant de Dehn

C'est en dimension trois qu'apparaît la véritable difficulté : deux polyèdres de même volume ne sont pas nécessairement équidécomposables.

Cette différence fondamentale entre la géométrie plane et la géométrie de l'espace a été mise en évidence par le mathématicien allemand Max Dehn au début du XXe siècle, dans le cadre du troisième problème de Hilbert.

Dehn a introduit un invariant géométrique, aujourd'hui appelé invariant de Dehn, qui associe à chaque polyèdre des informations faisant intervenir les longueurs de ses arêtes et les angles dièdres correspondants.

Un angle dièdre est l'angle formé par deux faces adjacentes d'un polyèdre le long de leur arête commune.

Si deux polyèdres ont des invariants de Dehn différents, ils ne peuvent pas être équidécomposables.

Grâce à cet invariant, Dehn a notamment montré qu'un cube et un tétraèdre régulier de même volume ne sont pas équidécomposables. L'invariant de Dehn du cube est nul, tandis que celui du tétraèdre régulier ne l'est pas.

L'histoire ne s'arrête cependant pas là. En 1965, le mathématicien suisse Jean-Pierre Sydler a établi la réciproque : dans l'espace euclidien tridimensionnel, deux polyèdres sont équidécomposables si et seulement s'ils ont le même volume et le même invariant de Dehn.

La situation peut donc se résumer ainsi :

• En dimension deux, deux polygones de même aire sont équidécomposables, conformément au théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien.
• En dimension trois, l'égalité des volumes ne suffit pas : deux polyèdres doivent également avoir le même invariant de Dehn pour être équidécomposables.

Cette différence entre les dimensions deux et trois est l'un des résultats classiques de la théorie des dissections géométriques. Elle montre que le volume, aussi fondamental soit-il, ne contient pas à lui seul toute l'information nécessaire pour déterminer si deux polyèdres peuvent être découpés et réassemblés l'un en l'autre.

Le paradoxe de Banach-Tarski

La notion d'équidécomposition prend une tournure encore plus surprenante lorsque l'on quitte le cadre des polyèdres et des découpages géométriques ordinaires.

• Le paradoxe de Banach-Tarski
  Le célèbre paradoxe de Banach-Tarski affirme qu'en admettant notamment l'axiome du choix, il est possible de décomposer une boule de l'espace euclidien en un nombre fini de sous-ensembles, puis de déplacer ceux-ci au moyen d'isométries afin d'obtenir deux boules identiques à la boule initiale.

  Remarque. Le paradoxe de Banach-Tarski ne relève pas de l'équidécomposabilité polyédrique classique étudiée dans le cadre du troisième problème de Hilbert. Les « pièces » utilisées ne sont pas des polyèdres ordinaires, mais des ensembles non mesurables auxquels on ne peut attribuer de volume au sens usuel. Le paradoxe appartient donc à un cadre beaucoup plus général de l'équidécomposition en théorie des ensembles. Il montre que, lorsque l'on abandonne les restrictions propres aux dissections polyédriques classiques, des phénomènes profondément contre-intuitifs deviennent possibles.

L'équidécomposabilité révèle ainsi une idée essentielle de la géométrie : connaître le volume d'un objet ne suffit pas toujours à comprendre sa structure. En dimension trois, la manière dont les faces, les arêtes et les angles s'organisent joue elle aussi un rôle déterminant.