Axiome de De Zolt
Un solide ne peut pas être équivalent à l'une de ses parties propres.
L'axiome de De Zolt énonce une propriété qui peut sembler évidente : une figure géométrique ne peut pas être équivalente à l'une de ses parties propres. Dans le cas des solides, cela signifie qu'un solide ne peut pas avoir le même volume qu'une partie strictement contenue en lui.
Autrement dit, si l'on prélève une partie d'un solide et que la partie restante possède un volume strictement positif, la portion prélevée ne peut pas avoir le même volume que le solide tout entier.
Exemple
Si le solide A est équivalent à une partie propre d'un autre solide B, alors, du point de vue de la grandeur considérée, B est plus grand que A :
$$ B > A $$
La grandeur du solide B est donc nécessairement supérieure à celle du solide A.
Remarque. L'axiome de De Zolt s'inscrit dans le vaste mouvement d'axiomatisation de la géométrie qui se développe à la fin du XIXe siècle. En 1881, Luigi De Zolt étudie le principe selon lequel une figure ne peut être équivalente à l'une de ses parties propres. Dans la littérature mathématique, cet énoncé est notamment associé à l'équivalence des polygones et à la théorie des aires. Il ne faut pas le confondre avec le paradoxe de Banach-Tarski, beaucoup plus tardif et fondé sur un cadre mathématique très différent. Celui-ci montre qu'en admettant l'axiome du choix, une boule de l'espace euclidien peut être décomposée en un nombre fini d'ensembles non mesurables, puis réassemblée, au moyen d'isométries, pour former deux boules congruentes à la boule initiale. Ce résultat ne contredit pas la théorie usuelle du volume, car les ensembles utilisés dans cette décomposition ne sont pas mesurables au sens usuel.
L'axiome de De Zolt permet ainsi de formaliser une propriété fondamentale des grandeurs géométriques et de leur équivalence.
Il exprime de manière rigoureuse une idée intuitive : dans le cadre géométrique considéré, une figure proprement contenue dans une autre ne peut pas lui être équivalente.
Un exemple concret
Prenons un cube dont les arêtes mesurent 10 cm. Son volume est :
$$ V = 10^3 = 1000\ \text{cm}^3 $$
Considérons maintenant un cube plus petit, contenu dans le premier, dont les arêtes mesurent 5 cm. Son volume est :
$$ V_{\text{petit}} = 5^3 = 125\ \text{cm}^3 $$
Ces deux solides peuvent-ils avoir le même volume ? Non, puisque leurs volumes sont respectivement de 1000 cm³ et de 125 cm³.
C'est précisément ce type de propriété que formalise l'axiome de De Zolt.
Puisque 125 ≠ 1000, le petit cube, qui constitue une partie propre du grand cube, ne peut pas avoir le même volume que celui-ci.
Remarque. Cette affirmation paraît aller de soi. Pourtant, l'un des objectifs de l'axiomatisation consiste précisément à formuler de manière explicite et rigoureuse des propriétés que l'intuition nous pousse à considérer comme évidentes. L'axiome de De Zolt n'a pas pour fonction d'interdire des constructions comme la décomposition de Banach-Tarski, qui relève d'un autre cadre mathématique et fait intervenir des ensembles non mesurables. Il exprime une propriété fondamentale de l'équivalence des grandeurs géométriques : une figure proprement contenue dans une autre ne peut lui être équivalente lorsque les conditions requises par la théorie sont satisfaites.
Notes
Quelques précisions permettent de mieux comprendre la portée et le contexte historique de l'axiome de De Zolt.
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Version bidimensionnelle de l'axiome de De Zolt
L'axiome s'applique notamment aux figures planes :Un polygone ne peut pas être équivalent à l'une de ses parties propres.
Dans le cadre de la théorie des aires, cela signifie qu'un polygone ne peut pas avoir la même aire qu'une partie propre dont le complément possède une aire strictement positive.
- L'axiome de De Zolt est-il une précaution judicieuse ou une forme excessive de conservatisme ?
L'histoire des mathématiques est jalonnée de découvertes qui ont profondément bousculé notre intuition, des nombres complexes aux différentes conceptions de l'infini, en passant par les géométries non euclidiennes et la topologie. À maintes reprises, des idées qui semblaient impossibles ou paradoxales ont conduit les mathématiciens à repenser les fondements de leur discipline.Il serait toutefois trompeur de voir dans l'axiome de De Zolt une simple attitude conservatrice destinée à écarter les résultats contre-intuitifs. Il s'inscrit plutôt dans l'effort entrepris au XIXe siècle pour donner des fondements rigoureux aux notions de grandeur et d'équivalence géométrique.
L'axiome de De Zolt doit donc être compris avant tout comme un principe axiomatique. Il énonce une propriété que doit satisfaire la relation d'équivalence dans le système géométrique considéré : une figure ne peut être équivalente à l'une de ses parties propres lorsque le complément de cette partie possède une grandeur non nulle.
Cette démarche prend tout son sens lorsqu'on la replace dans son contexte historique. De Zolt travaille au XIXe siècle, à une époque où les mathématiciens cherchent à préciser les fondements logiques de la géométrie. Il devient alors essentiel de déterminer quelles propriétés peuvent être démontrées et lesquelles doivent être posées comme axiomes, même lorsqu'elles paraissent intuitivement évidentes.
Ces recherches s'inscrivent dans le vaste mouvement d'axiomatisation qui culminera notamment avec les travaux de David Hilbert. Par la suite, le développement de la théorie des ensembles, de la théorie de la mesure et de la logique mathématique permettra d'étudier avec rigueur des phénomènes beaucoup plus contre-intuitifs, notamment ceux qui font intervenir des ensembles non mesurables.
Et ainsi de suite.
