Axiome de De Zolt pour les surfaces

Que dit l'axiome de De Zolt ?

Une surface ne peut pas être équivalente à l'une de ses parties propres, c'est-à-dire à une partie strictement contenue dans cette surface.

L'idée est assez intuitive : une figure ne peut pas avoir la même aire que l'une de ses parties propres. Ce principe, utilisé dans le cadre axiomatique de la géométrie, est connu sous le nom d'axiome de De Zolt.

Qu'est-ce qu'un axiome ? Un axiome est un énoncé admis comme point de départ d'un système mathématique, sans être démontré à partir d'autres propositions de ce système. Avec les définitions et les autres axiomes, il constitue la base à partir de laquelle on peut démontrer logiquement des théorèmes et établir de nouveaux résultats.

Pour mieux comprendre l'axiome de De Zolt, considérons une surface quelconque S.

Traçons maintenant une ligne qui partage la surface S en deux régions distinctes, que nous noterons A et B.

Deux surfaces sont dites équivalentes si, et seulement si, elles ont la même aire.

Dans notre exemple, l'aire totale de S est égale à la somme des aires de A et de B :

$$ \operatorname{Aire}(S) = \operatorname{Aire}(A) + \operatorname{Aire}(B) $$

Si A et B ont toutes deux une aire strictement positive, l'aire de S est nécessairement supérieure à celle de chacune de ces deux régions prise séparément :

$$ \operatorname{Aire}(S) > \operatorname{Aire}(A) $$

et

$$ \operatorname{Aire}(S) > \operatorname{Aire}(B) $$

Par conséquent, ni A ni B ne peuvent être équivalentes à S. Inversement, S ne peut être équivalente à aucune de ces parties propres.

On peut donc résumer l'idée ainsi : une surface ne peut pas être équivalente à l'une de ses parties propres dès lors que la partie restante a une aire strictement positive.

Le même raisonnement s'applique à toute décomposition analogue d'une surface.