Comparer le volume de deux solides

Cette propriété repose sur l'ordre usuel des nombres réels. Elle permet de comparer deux solides à partir d'une grandeur bien précise : leur volume.

Si le volume d'un solide est supérieur à celui d'un autre, on dit simplement que son volume est plus grand. S'il lui est inférieur, son volume est plus petit. Lorsque les deux volumes sont égaux, on parle de solides équivalents.

Dans le cadre de l'enseignement secondaire, cette présentation suffit généralement pour comprendre comment comparer les volumes de deux solides.

Remarque. À première vue, cette comparaison est simple et sans ambiguïté. Elle permet toujours de déterminer si le volume d'un solide est égal, supérieur ou inférieur à celui d'un autre. Il faut cependant garder à l'esprit que l'on compare ici une seule grandeur : le volume. Cette comparaison ne permet donc pas, à elle seule, d'établir un classement général des objets. Dès que l'on prend en compte d'autres propriétés, comme la masse, l'aire, la masse volumique, la résistance ou le coût, la situation devient plus complexe. Un objet réel ne peut pas toujours être décrit ou comparé à l'aide d'une seule grandeur. C'est ce que nous allons examiner dans la suite.

Les limites d'une comparaison fondée uniquement sur le volume

Comparer deux solides en fonction de leur volume permet de déterminer si leurs volumes sont égaux ou si l'un est supérieur à l'autre. Deux solides de même volume sont dits équivalents.

Du point de vue mathématique, cette comparaison est parfaitement définie. Mais elle ne concerne qu'une propriété particulière. Si l'on souhaite comparer les objets dans leur ensemble, le volume ne suffit plus, car de nombreuses autres caractéristiques peuvent entrer en jeu.

Autrement dit, des solides peuvent être comparés selon différents critères, et ces critères ne conduisent pas nécessairement au même classement.

Exemple. Imaginons un cube de marbre et un cube de bois de même volume. Du point de vue géométrique, ce sont des solides équivalents. Pourtant, cela ne signifie pas qu'ils possèdent les mêmes propriétés physiques. À volume égal, le cube de marbre est généralement beaucoup plus lourd en raison de sa masse volumique plus élevée. Les deux cubes peuvent également différer par leur coût, leur résistance mécanique, leur fragilité ou leur facilité de manipulation. L'égalité des volumes ne signifie donc pas que les objets sont équivalents selon tous les critères.

Dès que l'on introduit plusieurs critères de comparaison, il n'existe plus nécessairement un ordre unique permettant de classer les objets.

Dire qu'un solide est « supérieur » à un autre n'a donc de sens que si l'on précise le critère considéré. Son volume est-il plus grand ? Sa masse est-elle plus élevée ? Son aire est-elle plus faible ? Est-il plus résistant, plus durable ou mieux adapté à un usage particulier ? Sans critère clairement défini, la comparaison reste imprécise.

Affirmer qu'un objet est supérieur à un autre dans l'absolu reviendrait, par exemple, à dire que les pommes sont meilleures que les oranges sans préciser si l'on compare leur goût, leur teneur en vitamine C, leur prix au kilogramme ou une autre caractéristique.

Exemple. Considérons une boule et un cube de même volume. Par définition, ce sont des solides équivalents. Leur géométrie est pourtant très différente. Parmi tous les solides de volume donné, la boule est celui dont l'aire est minimale. Le cube possède, quant à lui, des faces planes qui permettent de le poser et de l'empiler facilement. Une boule peut rouler sur une surface plane, contrairement à un cube placé dans les mêmes conditions. Aucun de ces solides n'est donc « meilleur » dans l'absolu : chacun possède des propriétés qui peuvent constituer un avantage selon l'usage envisagé.

L'idée d'un classement absolu perd ainsi son sens dès que plusieurs critères interviennent et conduisent à des résultats différents, sans qu'un critère unique ait été choisi pour les départager.

Dans un cadre plus général, on peut également rencontrer des critères incommensurables, c'est-à-dire des critères qui ne peuvent pas être directement ramenés à une même grandeur ou à une même unité de mesure. Le volume, la masse, le coût ou encore une qualité esthétique ne se comparent pas directement entre eux. Il faut donc définir au préalable la manière dont ces différents critères doivent être pris en compte.

En définitive, la comparaison des volumes présente un réel intérêt pédagogique. Elle permet d'apprendre à comparer des grandeurs géométriques et de comprendre la notion de solides équivalents. Il faut toutefois éviter d'étendre cette relation d'ordre à l'ensemble des propriétés des objets.

Sans contexte ni critère clairement défini, une comparaison absolue risque de devenir trompeuse. En mathématiques comme dans les situations concrètes, il est donc essentiel de toujours préciser quelle grandeur est comparée et selon quel critère.

Et ainsi de suite.