Angles polyèdres

Un angle polyèdre est une figure géométrique de l'espace délimitée par plusieurs demi-droites issues d'un même point V, appelé sommet, et par les secteurs plans compris entre deux demi-droites consécutives. On peut notamment construire un angle polyèdre à partir d'un polygone et d'un point V situé hors du plan de ce polygone, en traçant les demi-droites issues de V qui passent par chacun de ses sommets.

Contrairement à un polyèdre, un angle polyèdre ne forme pas un solide fermé. Ses arêtes sont des demi-droites issues du sommet et se prolongent indéfiniment dans l'espace.

Cette figure peut être considérée comme une généralisation dans l'espace de la notion d'angle plan. Un angle plan est délimité par deux demi-droites de même origine, tandis qu'un angle polyèdre comporte plusieurs faces qui ont toutes le même sommet.

Pour décrire un angle polyèdre, on distingue trois éléments essentiels :

• Sommet (V)
  C'est le point commun à toutes les arêtes de l'angle polyèdre. Il constitue l'origine de la figure.
• Arêtes
  Ce sont les demi-droites issues du sommet V qui délimitent les différentes faces. Lorsque l'angle polyèdre est construit à partir d'un polygone, chacune de ces demi-droites passe par l'un des sommets du polygone.
• Faces
  Ce sont les angles plans déterminés par deux arêtes consécutives. Toutes les faces ont donc pour sommet commun le sommet V de l'angle polyèdre.

Un angle polyèdre comportant n arêtes possède également n faces. On parle alors d'un angle polyèdre à n faces.

Le trièdre en est l'exemple le plus simple : il s'agit d'un angle polyèdre constitué de trois arêtes et de trois faces.

Un angle polyèdre est dit régulier lorsque ses faces sont congruentes et disposées symétriquement autour de son sommet.

Remarque. Il est important de ne pas confondre l'angle polyèdre et l'angle solide. L'angle polyèdre est une figure géométrique de l'espace, tandis que l'angle solide est une grandeur qui mesure l'étendue d'une portion de l'espace vue depuis un point. L'angle solide se mesure en stéradians et intervient notamment dans l'étude du rayonnement, des projections et de différents phénomènes optiques.

Les arêtes d'un angle polyèdre

Lorsqu'on représente un angle polyèdre à l'aide d'un polygone servant de section ou de base auxiliaire et d'un sommet V situé hors de son plan, il faut distinguer les véritables arêtes de l'angle polyèdre des côtés du polygone utilisé dans la construction :

• Arêtes de l'angle polyèdre
  Ce sont les demi-droites issues du sommet V et passant par les sommets du polygone. Chaque arête est commune à deux faces consécutives de l'angle polyèdre.
• Côtés du polygone de base
  Ce sont les segments qui forment le contour du polygone utilisé pour construire ou représenter l'angle polyèdre. Ils relient deux sommets consécutifs du polygone et ne constituent donc pas, au sens strict, des arêtes de l'angle polyèdre lui-même.
  

Remarque. Dans une terminologie géométrique rigoureuse, les arêtes d'un angle polyèdre sont toujours les demi-droites issues de son sommet. Les segments appartenant au polygone utilisé pour le représenter, ou obtenus par une section plane, sont les côtés de ce polygone. Ils ne doivent donc pas être confondus avec les arêtes de l'angle polyèdre.