Théorème sur les hauteurs des faces latérales d'une pyramide droite

Dans une pyramide droite dont la base possède un cercle inscrit et dont la hauteur passe par le centre de ce cercle, les hauteurs des faces latérales ont toutes la même longueur. Leurs pieds correspondent exactement aux points de tangence du cercle inscrit avec les côtés de la base.
démonstration du théorème sur les hauteurs des faces latérales d'une pyramide droite

Les hauteurs des faces latérales sont les segments perpendiculaires menés du sommet de la pyramide aux côtés correspondants de la base.

Le théorème montre que, lorsque les conditions précédentes sont réunies, toutes ces hauteurs ont la même longueur. Il précise également que leurs pieds sont les points où le cercle inscrit est tangent aux côtés de la base.

Pourquoi ce résultat est-il important ?

Cette propriété permet de mieux comprendre la géométrie des faces latérales d'une pyramide droite. Elle fournit aussi un moyen simple de déterminer leur hauteur à partir de deux grandeurs connues : la hauteur de la pyramide et le rayon du cercle inscrit dans la base.

Remarque. Si la base est un polygone régulier et si le pied de la hauteur de la pyramide coïncide avec le centre de ce polygone, la pyramide est régulière. Dans ce cas, les hauteurs des faces latérales sont appelées apothèmes de la pyramide. Leur longueur peut être calculée à l'aide de relations géométriques simples.

Démonstration

Considérons une pyramide droite dont la base $ ABC $ possède un cercle inscrit de centre $ O $. Supposons également que $ O $ soit le pied de la hauteur issue du sommet $ V $.

pyramide droite dont la hauteur passe par le centre du cercle inscrit dans la base

Par hypothèse, la droite $ OV $ est perpendiculaire au plan de la base $ ABC $.

Traçons maintenant les rayons qui relient le centre $ O $ du cercle inscrit aux points de tangence $ D, E $ et $ F $.

rayons du cercle inscrit menés aux points de tangence avec les côtés de la base

Puisque $ OD $, $ OE $ et $ OF $ sont des rayons d'un même cercle, ils ont nécessairement la même longueur :

$$ OD \cong OE \cong OF $$

Par ailleurs, un rayon mené à un point de tangence est perpendiculaire à la tangente en ce point. Comme $ D, E $ et $ F $ sont les points de tangence du cercle inscrit avec les côtés correspondants de la base, on obtient :

$$ OD \perp AB $$

$$ OE \perp AC $$

$$ OF \perp BC $$

Relions à présent chacun des points de tangence $ D, E $ et $ F $ au sommet $ V $ de la pyramide.

hauteurs des faces latérales de la pyramide droite

Puisque $ OV $ est perpendiculaire au plan de la base, on a en particulier $ OV \perp AB $. D'autre part, nous savons que $ OD \perp AB $. Or les droites $ OV $ et $ OD $, sécantes en $ O $, appartiennent toutes deux au plan $ OVD $.

La droite $ AB $ étant perpendiculaire à deux droites sécantes de ce plan, elle est perpendiculaire au plan $ OVD $. Elle est donc perpendiculaire à toute droite de ce plan passant par son point d'intersection $ D $, et notamment à $ VD $ :

$$ VD \perp AB $$

Le segment $ VD $ est donc la hauteur de la face latérale $ ABV $ relative au côté $ AB $.

Le même raisonnement s'applique aux segments $ VE $ et $ VF $, qui sont les hauteurs des deux autres faces latérales :

$$ VE \perp AC $$

$$ VF \perp BC $$

Il reste maintenant à montrer que ces trois hauteurs ont la même longueur.

Considérons les triangles $ OVD $ et $ OVE $. Ils ont le côté $ OV $ en commun et les segments $ OD $ et $ OE $ ont la même longueur :

$$ OD \cong OE $$

De plus, puisque $ OV $ est perpendiculaire au plan de la base, il est perpendiculaire à toute droite de ce plan passant par $ O $, notamment à $ OD $ et à $ OE $. On a donc :

$$ \angle VOD = \angle VOE = 90^\circ $$

Les triangles $ OVD $ et $ OVE $ ont ainsi deux côtés respectivement de même longueur et l'angle compris entre ces côtés de même mesure. D'après le critère de congruence côté-angle-côté (CAC), ils sont congruents :

$$ \triangle OVD \cong \triangle OVE $$

Les côtés correspondants de deux triangles congruents ayant la même longueur, on en déduit :

$$ VD \cong VE $$

Les hauteurs de ces deux faces latérales ont donc la même longueur.

égalité des hauteurs des faces latérales d'une pyramide droite

En appliquant exactement le même raisonnement au triangle $ OVF $, on obtient finalement :

$$ VD \cong VE \cong VF $$

Nous avons ainsi démontré que, dans une pyramide droite dont la base possède un cercle inscrit et dont la hauteur passe par le centre de ce cercle, toutes les hauteurs des faces latérales ont la même longueur. Leurs pieds correspondent aux points de tangence du cercle inscrit avec les côtés de la base.

C.Q.F.D. (Ce qu'il fallait démontrer)