Rapport des aires de deux polygones semblables

Pour deux polygones semblables, le rapport de leurs aires est égal au carré de leur rapport de similitude : $ \frac{A'}{A} = k^2 $.

Autrement dit, lorsqu'on agrandit ou réduit un polygone sans modifier sa forme, son aire ne varie pas dans les mêmes proportions que ses longueurs. Le rapport des aires est égal au carré du rapport des longueurs de deux côtés homologues.

$$ \frac{A'}{A} = k^2 = \left( \frac{l'}{l} \right)^2 $$

Dans cette relation, \( k \) désigne le rapport de similitude, tandis que \( l \) et \( l' \) représentent les longueurs de deux côtés homologues des polygones.

Ainsi, si les longueurs du second polygone sont \( k \) fois celles du premier, son aire est \( k^2 \) fois celle du premier.

$$ A' = A \cdot k^2 $$

Pourquoi le facteur \( k \) est-il élevé au carré ? Une aire est une grandeur bidimensionnelle. Lorsque toutes les longueurs sont multipliées par \( k \), les deux dimensions qui interviennent dans le calcul de l'aire sont chacune multipliées par \( k \). L'aire est donc multipliée par \( k \cdot k \), c'est-à-dire par \( k^2 \).

Par exemple, si l'on considère deux carrés et que le côté du second est deux fois plus long que celui du premier, l'aire du second est quatre fois celle du premier.

Exemple

Considérons deux carrés semblables.

Le premier a des côtés de 2 unités, tandis que ceux du second mesurent 4 unités.

Le rapport de similitude qui permet de passer du premier carré au second est \( k = 2 \). Cela signifie que chaque côté du second carré est deux fois plus long que le côté homologue du premier.

$$ k = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{4}{2} = 2 $$

Calculons maintenant l'aire de chacun des deux carrés.

$$ A = \overline{AB} \cdot \overline{BC} = 2 \times 2 = 4 $$

$$ A' = \overline{A'B'} \cdot \overline{B'C'} = 4 \times 4 = 16 $$

L'aire passe donc de 4 à 16. Le second carré a ainsi une aire quatre fois plus grande que celle du premier :

$$ \frac{A'}{A} = \frac{16}{4} = 4 = 2^2 = k^2 $$

On retrouve bien le carré du rapport de similitude : les longueurs ont été multipliées par 2 et l'aire par \( 2^2 = 4 \).

Démonstration

Pour comprendre d'où vient cette relation, considérons deux carrés semblables.

Puisque les deux carrés sont semblables, leurs côtés homologues sont proportionnels. Le rapport entre les longueurs correspondantes est donc constant et égal au rapport de similitude \( k \).

$$ \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}} = k $$

Notons \( b \) la longueur du segment AB et \( h \) celle du segment BC. De même, notons \( b' \) et \( h' \) les longueurs des segments homologues du second carré.

$$ \frac{b'}{b} = \frac{h'}{h} = k $$

On en déduit directement :

$$ b' = k \cdot b $$

$$ h' = k \cdot h $$

Calculons à présent l'aire du second carré :

$$ A' = b' \cdot h' $$

Remplaçons \( b' \) et \( h' \) par les expressions obtenues précédemment :

$$ A' = (k \cdot b) \cdot (k \cdot h) $$

En regroupant les facteurs, on obtient :

$$ A' = k^2 \cdot b \cdot h $$

Or, le produit \( b \cdot h \) correspond exactement à l'aire \( A \) du premier carré :

$$ A = b \cdot h $$

On peut donc remplacer \( b \cdot h \) par \( A \) :

$$ A' = A \cdot k^2 $$

En divisant les deux membres de l'égalité par \( A \), on obtient finalement :

$$ \frac{A'}{A} = k^2 $$

Nous avons ainsi montré, dans le cas de deux carrés semblables, que le rapport de leurs aires est égal au carré de leur rapport de similitude.

Ce résultat se généralise à deux polygones semblables quelconques. Deux polygones semblables peuvent en effet être décomposés en triangles homologues semblables. Pour chaque paire de triangles correspondants, les longueurs homologues sont dans le rapport \( k \), tandis que leurs aires sont dans le rapport \( k^2 \). En additionnant les aires des triangles qui composent chacun des deux polygones, ce même rapport est conservé :

$$ \frac{A'}{A} = k^2 $$

Par conséquent, quelle que soit la forme des deux polygones semblables, leur rapport de similitude permet de déterminer directement le rapport de leurs aires : il suffit d'élever \( k \) au carré.