Tronc de cône

Un tronc de cône est un solide géométrique obtenu en coupant un cône par un plan parallèle à sa base, puis en supprimant la partie qui contient le sommet.

Le solide ainsi obtenu possède deux bases circulaires parallèles de rayons différents : la grande base, qui correspond à la base du cône initial, et la petite base, formée par la section du cône avec le plan de coupe.

La surface latérale du tronc de cône est engendrée par des segments inclinés appelés génératrices. Si on les prolonge, toutes ces génératrices convergent vers le sommet du cône initial.

Sur la figure, les droites obtenues en prolongeant les génératrices du tronc de cône se rencontrent donc au point C, qui correspond au sommet du cône avant qu'il ne soit coupé.

Propriétés du tronc de cône

Un tronc de cône de révolution peut également être obtenu en faisant tourner un trapèze rectangle sur 360° autour du côté perpendiculaire à ses deux bases parallèles. Ce côté correspond à la hauteur (h) du solide.

La droite autour de laquelle tourne le trapèze est appelée axe de révolution.

Le côté oblique du trapèze engendre la surface latérale du solide et devient une génératrice (a) du tronc de cône. Sa longueur correspond à la distance entre les deux bases mesurée le long de la surface latérale.

Remarque : le tronc de cône est une forme que l'on rencontre fréquemment dans la vie courante. Les gobelets en papier et les abat-jour en sont des exemples simples. On retrouve également des formes similaires dans certains éléments architecturaux, comme les coupoles, les tours ou les cheminées. Elles sont aussi utilisées dans certains haut-parleurs et pavillons acoustiques afin de guider la propagation des ondes sonores et d'en contrôler la directivité.

Formules du tronc de cône

Pour étudier un tronc de cône de révolution, il faut connaître trois dimensions principales : sa hauteur, c'est-à-dire la distance perpendiculaire entre les plans des deux bases, le rayon de la grande base et le rayon de la petite base.

• Aire des bases
  Les deux bases n'ayant pas le même rayon (r ≠ r'), leurs aires doivent être calculées séparément.
  
  • Grande base $$ A_B = \pi r^2 $$
  • Petite base $$ A'_B = \pi r'^2 $$

  Remarque. En additionnant les aires des deux bases, on obtient : $$ A_B + A'_B = \pi r^2 + \pi r'^2 = \pi ( r^2 + r'^2 ) $$

• Aire latérale
  L'aire latérale A_L dépend de la longueur de la génératrice (a) et des rayons des deux bases : $$ A_L = \pi a (r + r') $$

  Remarque. Cette formule peut également s'écrire comme le produit de la longueur de la génératrice par la somme des demi-circonférences des deux bases : $$ A_L = a \cdot ( \frac{1}{2} \cdot 2 \pi r + \frac{1}{2} \cdot 2 \pi r') $$ $$ A_L = a \cdot (\ \pi r +\ \pi r') $$ $$ A_L = a \cdot \pi \cdot (r +\ r') $$

• Aire totale
  Pour obtenir l'aire totale du tronc de cône, il suffit d'additionner l'aire latérale et les aires des deux bases : $$ A_T = A_L + A_B + A'_B $$
• Volume
  Le volume d'un tronc de cône est donné par la formule : $$ V = \frac{1}{3} \pi h (r^2 + r'^2 + r \cdot r') $$ où h représente la hauteur du tronc de cône, r le rayon de la grande base et r' celui de la petite base.
  Démonstration. Pour retrouver cette formule, considérons un cône de rayon $ R $ et de hauteur $ H $. Coupons-le par un plan parallèle à sa base et retirons le petit cône ainsi formé, de rayon $ r' $ et de hauteur $ h' $. La partie restante est un tronc de cône de hauteur $ h $.
  
  Les deux cônes étant semblables, leurs dimensions correspondantes sont proportionnelles : $$ r':R = h':H $$ Comme $ H = h + h' $, on peut écrire : $$ r':R = h':(h + h') $$ Sous forme de fractions : $$ \frac{r'}{R} = \frac{h'}{H} = \frac{h'}{h + h'} $$ Exprimons maintenant $ h' $ en fonction de $ h $, $ R $ et $ r' $ : $$ \frac{r'}{R} = \frac{h'}{h + h'} $$ $$ r'(h + h') = R h' $$ $$ r'h + r'h' = R h' $$ $$ r'h = h'(R - r') $$ $$ h' = \frac{r'}{R - r'} \cdot h $$ Calculons ensuite le volume de chacun des deux cônes :

  • $V_1 = \frac{1}{3} \pi R^2 (h + h')$ (volume du cône initial)
  • $V_2 = \frac{1}{3} \pi r'^2 h'$ (volume du cône retiré)

  Le volume du tronc de cône correspond à la différence entre ces deux volumes : $$ V = V_1 - V_2 $$ $$ V = \frac{1}{3} \pi \left[ R^2(h + h') - r'^2 h' \right] $$ $$ V = \frac{1}{3} \pi \left[ R^2 h + (R^2 - r'^2) h' \right] $$ Remplaçons maintenant $ h' $ par $ \frac{r'}{R - r'} \cdot h $ : $$ V = \frac{1}{3} \pi \left[ R^2 h + (R^2 - r'^2) \cdot \frac{r'}{R - r'} \cdot h \right] $$ $$ V = \frac{1}{3} \pi h \left[ R^2 + \frac{r'(R^2 - r'^2)}{R - r'} \right] $$ En utilisant l'identité $ R^2 - r'^2 = (R - r')(R + r') $, on obtient : $$ V = \frac{1}{3} \pi h \left[ R^2 + \frac{r'(R - r')(R + r')}{R - r'} \right] $$ $$ V = \frac{1}{3} \pi h \left[ R^2 + r'(R + r') \right] $$ $$ V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr' + r'^2) $$ On retrouve ainsi la formule du volume du tronc de cône : $$ V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r'^2 + Rr') $$

Relation entre les aires des sections circulaires d'un cône et leurs distances au sommet

Lorsqu'un cône est coupé par un plan parallèle à sa base, l'intersection avec ce plan est un cercle. Plus le plan de coupe est proche du sommet, plus le cercle obtenu est petit.

Cette propriété s'explique par la similitude des figures. Dans des figures semblables, les longueurs correspondantes sont proportionnelles. Les aires varient, quant à elles, comme le carré de ces longueurs, tandis que les volumes varient comme leur cube.

Dans le cas d'un cône, cela signifie que l'aire d'une section circulaire dépend du carré de sa distance au sommet. On peut ainsi comparer directement l'aire du disque de base et celle du disque délimité par une section parallèle à partir de leurs distances respectives au sommet.

Exemple pratique

Considérons un cône pour lequel la distance entre le sommet et le plan de la base est \( h_1 = 12 \, \text{cm} \).

Supposons qu'une section parallèle à la base soit réalisée à une distance \( h_2 = 4 \, \text{cm} \) du sommet.

Le rapport entre les deux aires est alors :

\[ \frac{A_1}{A_2} = \left( \frac{12}{4} \right)^2 = 3^2 = 9 \]

On en déduit immédiatement que :

\[ A_1 = 9 \cdot A_2 \]

Autrement dit, l'aire de la grande base est neuf fois celle du disque délimité par la section parallèle.

Démonstration

Considérons un cône coupé par un plan parallèle à sa base.

Les triangles VCK et VC'K' sont semblables d'après le premier critère de similitude des triangles, puisque leurs angles correspondants sont égaux.

Leurs côtés homologues sont donc proportionnels :

$$ VC : VC' = CK : C'K' $$

Cette relation peut également s'écrire sous forme de fractions :

$$ \frac{VC}{VC'} = \frac{CK}{C'K'} $$

Élevons maintenant les deux membres au carré :

$$ \left( \frac{VC}{VC'} \right)^2 = \left( \frac{CK}{C'K'} \right)^2 $$

On obtient :

$$ \frac{VC^2}{VC'^2} = \frac{CK^2}{C'K'^2} $$

Or, l'aire d'un disque de rayon \( r \) est donnée par la formule \( A = \pi r^2 \). Le rapport des aires de deux disques est donc égal au carré du rapport de leurs rayons :

$$ \frac{ \pi \cdot (CK)^2}{ \pi \cdot (C'K')^2} = \frac{ CK^2 }{ C'K'^2 } $$

Ici, \( A = \pi \cdot (CK)^2 \) représente l'aire du disque de base, tandis que \( A_s = \pi \cdot (C'K')^2 \) représente l'aire du disque délimité par la section parallèle.

On peut donc écrire :

$$ \frac{ A}{ A_s} = \frac{ CK^2 }{ C'K'^2 } $$

En combinant cette égalité avec la relation de similitude obtenue précédemment, on trouve :

$$ \frac{VC^2}{VC'^2} = \frac{CK^2}{C'K'^2} = \frac{ A}{ A_s} $$

Et donc :

$$ \frac{VC^2}{VC'^2} =  \frac{ A}{ A_s} $$

On démontre ainsi que le rapport entre les aires des deux disques est égal au carré du rapport entre leurs distances respectives au sommet du cône.

Le même raisonnement s'applique à toute section d'un cône obtenue par un plan parallèle à sa base.