Sections parallèles d'un dièdre

Dans un dièdre, les sections obtenues par des plans parallèles sont toujours isométriques. Autrement dit, elles ont la même forme et les mêmes dimensions.

Considérons un plan π qui coupe le dièdre et détermine un angle α.

Prenons maintenant un second plan π' parallèle à π (c'est-à-dire π || π'). Ce plan coupe lui aussi le dièdre et détermine un angle α'. Les deux angles ont la même mesure : α ≅ α'.

Plus généralement, lorsque deux plans parallèles coupent un même dièdre, les sections ainsi obtenues sont isométriques. Voyons pourquoi.

Démonstration

Considérons un dièdre δ, d'arête r, ainsi qu'un plan π qui le coupe.

Pour faciliter la démonstration, supposons que le plan π soit perpendiculaire à l'arête r. Il détermine alors une section droite du dièdre. Le même raisonnement peut toutefois être appliqué à deux plans parallèles présentant une autre inclinaison par rapport à l'arête.

Le plan π coupe les deux faces du dièdre ainsi que son arête aux points A, B et C.

Considérons maintenant un second plan π', parallèle à π.

À son tour, le plan π' coupe les deux faces du dièdre ainsi que son arête aux points A', B' et C'.

Comme les plans π et π' sont parallèles, leurs intersections avec chacune des faces du dièdre sont des droites parallèles. Les quadrilatères AA'B'B et BB'C'C sont donc des parallélogrammes.

Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. On obtient donc :

AA' ≅ BB', AB ≅ A'B', BB' ≅ CC' et BC ≅ B'C'.

De plus, puisque AA' ≅ BB' et BB' ≅ CC', la propriété transitive permet d'en déduire que AA' ≅ CC'.

Les segments AA' et CC' sont également parallèles, puisqu'ils appartiennent tous deux à l'arête r. Ils sont donc à la fois parallèles et de même longueur. Le quadrilatère AA'C'C est par conséquent lui aussi un parallélogramme.

Ses côtés opposés ont la même longueur, d'où :

AC ≅ A'C'.

Nous pouvons maintenant comparer les triangles ABC et A'B'C'. Leurs trois côtés correspondants ont la même longueur :

AC ≅ A'C', AB ≅ A'B' et BC ≅ B'C'.

Les deux triangles sont donc isométriques d'après le critère côté-côté-côté (CCC).

Puisque les triangles ABC et A'B'C' sont isométriques, leurs angles correspondants ont nécessairement la même mesure.

En particulier, les angles α et α' ont la même mesure :

$$ \alpha \cong \alpha' $$

On en conclut que les deux sections parallèles du dièdre δ sont isométriques.

Le théorème est ainsi démontré.

Le même raisonnement s'applique à toute autre section obtenue par un plan parallèle aux précédents.